一元分段函数的使用

房喜明　宋华兵

【摘要】在一元微积分中，分段函数是非常重要的一类函数，恰当地使用一些分段函数作为例子有利于一些数学概念和定理的理解和掌握.本文给出一些使用分段函数的正面和反面情况和实例.

【关键词】分段函数；极限；连续的；可导的；可积的

【中图分类号】O17 【文献标识码】A 【文章编号】QK20160412001

一、引 言

分段函数在高等数学中非常重要，典型的分段函数有取整函数、狄利克雷函数（参见[1]、[2]、[3]）等，还可以根据需要定义一些分段函数.极限、连续、可导、可积等概念，复合函数求极限的理论以及闭区间上连续函数的性质和微分中值定理等理论是高等数学中的重要知识点，在这些数学问题中恰当地使用一些分段函数十分有必要.在信号处理与恢复的实际应用中，经常使用一些分段函数产生小波基（参见[4]）.在数值逼近中，也经常使用由一次或二次多项式构成的分段函数 （参见[5]）.因此对分段函数的研究和掌握不仅具有理论价值也有实际意义.本文主要讨论高等数学中使用分段函数的情形，根据分段函数所起的作用，论述分正面和反面两种情况.

二、主要内容

首先讨论分段函数正面使用的情况，之后讨论反面的情况.

1.正面情况

（1）在理解一元函数的连续性和可导性的方面，可以举一个正面的例子.例如：

设f（x）=ex+b，x∈[0，1]，asinx+1，x∈[-1，0）.

（1）讨论f（x）在点x=0连续时需满足的条件；

（2）讨论f（x）在点x=0可导时需满足的条件；

（3）f（x）在点x=0可导时，给出函数f（x）在区间[-1，1]上的导数 （其中在端点处的导数是指单侧导数）.

掌握这个例子的求解有助于对于一些概念的理解，如函数在一点处的连续性、可导性及其关系，单侧极限、单侧可导、求导方法等，这些概念和知识点是非常重要的.这样类型题目一般是要求学生必须掌握的.

（2）函数极值点和极值概念（参见[2]）在高等数学中非常重要，为使学生理解好这一概念，可以给出一个分段函数的例子，例如：

f（x）=ex-1，x∈（0，1]，1，x=0，x2，x∈（-1，0），1，x∈（-2，-1]，（x+3）2，x∈[-4，-2]..

问题：找出极值点（答案是：极大值点x=0； 极小值点x=-3）.这个例子结合图像说明非常有利于学生掌握极值点及极值概念.

关于分段函数其他的正面例子还有很多，例如在用定义limn→∞xn=A时（参见[1]），需要确定一个正整数N，使得n>N时，恒有xn-A<ε成立，其中N值的确定一般要用到取整函数.

2.反面情况

（1）关于函数在一点处的极限问题，有一个重要的知识点，即“函数在一点处的极限与函数在该点处的函数值没有关系”.为此，可以举一个分段函数的反例帮助理解这一思想.例如：

函数f（x）=x2，x≠0，-1，x=0在点x=0处极限是0，而函数值是1.

（2）关于函数在一点处的连续性和可导性的关系，我们知道是前者不能推出后者，但后者可以推出前者，也即可导必连续，但连续未必可导.为理解好这一思想，可以举一个分段函数的反例.如：

函数f（x）=x2，x≥0-x，x<0在点x=0处连续，但是不可导.当然也有初等函数的反例，如函数f（x）=x13也在点x=0处连续，但是不可导.

（3）复合函数求极限的运算法则（参见[2]），即设函数y=f[g（x）]是由函数u=g（x）与函数y=f（u）复合而成，y=f[g（x）]在点x0的某去心邻域内有定义，若limx→x0g在该法则中，条件“且存在δ0>0，使得当x∈Uo（x0，δ0）时，有g（x）≠u0”不可缺少.为此可以给出一个分段函数的反例：

y=f（u）=2，u=1，u，u≠1，u=g（x）=x0，x≠0.

显然，函数y=f[g（x）]在点x0=2的某去心邻域内有定义，并且limx→2g（x）=1，limu→1f（u）=1.因此，若不考虑上述条件而直接按照复合函数求极限的上述法则求极限，会有

实际上y=f[g（x）]=f（1）≡2，x≠0，因此limx→2f[g（x）]=2.导致错误的原因是该复合函数并不满足该求极限法则的条件.可见，这个反例有助于明确该条件的重要性.

（4）闭区间[a，b]上连续函数的性质非常重要，如有界性、最值性、零点定理和介值性等.其中闭区间和连续这两个条件要求是不可缺少的，若缺少一个，则结论有可能不成立.为更好地理解这两个成立条件，可以适当举一些分段函数的反例.例如关于介值性，可以给一个反例.如：

设f（x）=x2，x∈[-1，0）∪（0，1]，

-1，x=0.

则该函数的最大和最小值分别是1和-2，但不满足介值性，因为区间（0，-1）内的任何值都不是函数值.

（5）在求极值点或图像上拐点的时候，对于学生来说，往往首先想到要利用求导，并寻找驻点和二阶导数为零的点.虽然有知识点“驻点和不可导点是可能的极值点； 二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点是图像上可能拐点的横坐标”，但对于不可导点或二阶导数不存在的点的考察容易被忽略.为此，举一些分段函数的正面和反面例子有助于掌握该类问题的处理方法.例子可分几种类型：驻点是（或不是）极值点； 不可导点是（或不是）极值点； 二阶导数为零的点是（或不是）图像上拐点的横坐标； 二阶导数不存在的点是（或不是）图像上拐点的横坐标.下面给出二阶导数不存在而判断拐点问题的两个例子.设

则f1（x），f2（x）在区间[-1，1]上均连续，在点x=0处都没有二阶导数，其中f1（x）在点x=0处是一阶可导的，而f2（x）在点x=0处是一阶不可导的.因此，可知点x=0是这两个函数的图像上可能的拐点的横坐标.再进一步考察可知，点（0，1）是f2（x）图像上的拐点，不是f1（x）图像上的拐点.

（6）微分中值定理的成立条件非常重要.为更好地理解和掌握这些成立条件，可以给出一些分段函数的反例用以加深印象.例如关于罗尔定理（参见[1]、[2]、[3]），可给出函数

f（x）=ex-1，x∈（0，1]，（e-1）x2，x∈[-1，0].

此函数虽然满足罗尔定理的条件（1）和（3），但因为条件（2）不满足，使得结论不成立.其他的如拉格朗日中值定理和柯西中值定理也可以构造分段函数的反例.

（7）定积分是一个既难理解而又非常重要的概念.为更好地让学生掌握这一概念，可以举一个分段函数的反例.例如可考虑狄利克雷函数D（x），该函数在区间[a，b]上不满足定积分存在的定义.这一反例的给出不但有利于学生对于定积分概念中条件“如果不论对[a，b]怎样划分，也不论在小区间[xi-1，xi]上点ξi怎样选取，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数f（x）在区间[a，b]上的定积分（参见[1]、[2]、[3]）”的理解，而且也便于接下来顺势给出两类可积分的函数，即闭区间[a，b]上的连续函数和只有有限个间断点的有界函数是可积的.

以上讨论了分段函数作为反例的7种情形，其他情形还有很多，例如为更好地掌握凸（或凹）函数定义中的严格不等式要求（参见[1]），可以举由一条或两条直线构成的分段函数的反例等.举反例的目的是为帮助理解和掌握一些概念和定理等，虽然关注的有些只是一些细节性的知识点，但对于培养学生严谨的数学思维是非常必要的.

三、结束语

本文主要讨论一元分段函数作为例子使用的情形.实际上，对于多元微积分，也有构造分片函数例子的情形，如理解偏导存在与连续的关系，多元函数在一点处极限存在概念等（参见[1]、[2]、[3]）.可以看出分段（片）函数在微积分中作用比较大，有时具有一般的初等函数所无法替代的地位，在教学中如果能恰当地使用分段函数作为例子是十分有意义的.

【参考文献】

[1]复旦大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].第6版.北京：高等教育出版社，2013.

[3]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.

[4]崔锦泰.小波分析导论[M].西安：西安交通大学出版社，1997.

[5]Richard L Burden，J Douglas Faires.Numerical Analysis[M].Higher Education Press，2003.