浅谈学生在分类讨论中的几种错解现象

李丽君

摘 要：分类讨论思想涉及全部初中数学的知识点，是每年中考必考的数学思想之一，它是提高学生逻辑思维能力和培养正确解决问题能力的一种重要途径，但在具体问题中由于多种原因，导致学生不能正确运用这一思想，而常常会在解题时出错。

关键词：分类讨论思想；常见错解；思维定式

新课程对数学教师提出了更高的要求，在数学教学过程中，教

师不仅要组织学生探索知识，更应该引导学生在探索的过程中积累基本的数学活动经验，感悟基本的数学思想。《义务教育数学课程标准》明确指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”

分类讨论是人们常用的一种重要思想方法，无论是在生产生活中、还是在科学实验中，都得以体现。在初中数学学习中，分类讨论思想也是解决数学问题一种重要的逻辑方法，这种数学思想在发展学生思维方面起着不可替代的作用，它能训练学生的思维条理性和严密性。

分类讨论数学思想，也称为分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。在数学学习过程中学生运用这一思想又是必不可少的，对提高学生的逻辑思维能力和培养正确解决问题能力是一种重要途径，它体现了化整为零，积零为整的思想与归类整理的方法。但在具体问题中由于多种原因，学生不能正确运用这一思想，而常常会在解题时出错，现列举几种典型错误与大家共同讨论：

一、对定义、概念、定理的理解不透彻

例1.若函数y=（a+3）x2a+1+4x-5（x≠0）是一次函数，求a的值？

错解：很多学生由一次函数定义得2a+1=1且a+3≠0得y=

7x-5。

虽然定义明确规定一次函数中x的最高次数为1且k≠0，但定义所考虑的对象的范围作为限制条件，针对的是一次函数在一般形式下成立，而本题不是一次函数的一般形式，即应该对所给形式进行分类讨论。所以在对2a+1=1讨论之外，在讨论a+3=0时a=-3，y=4x-5是一次函数。

例2.半径为3cm、5cm的两圆相切，则它们的圆心距为 。

错解：虽然问题很简单，但还有很多学生只有8cm一个答案，而忘了相切有内切和外切两种情况。

初中课本中有不少定理、法则、公式都需要分类讨论，如实数的绝对值概念等是分类定义的，在教授这些内容时，可以通过不断的变式练习，不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、缜密性，这些都要求教师给予重视和注意，及时地进行强调。

二、易受思维定式影响

例3.已知直角三角形两边长分别为3、4，求第三边长。

错解：由勾股数3、4、5，很多学生马上得第三边长为5.

本题因为没有明确4到底是直角边还是斜边，就应该分开讨论，所以也是本题答案。

例4.已知方程（a-1）y2+6y+■=0有实根，求a。

错解：由Δ≥0得62-4×■（a-1）≥0得a≤5且a≠1。这也是受教师平时强调方程有实数解时得Δ≥0，而忽略了本题中的方程不一定是二次方程，也可能是一次方程，当a=1时，y=-■一元一次方程也满足。

这些题目看起来很容易，但学生往往答不全，很多学生存在漏解，所以虽然内容的相似方便于学生进行类比，用已有的数学经验去快速解决问题，但也容易带来思维的定式，造成一些不必要的失分，从而要求教师在平时讲解时多给予变式训练教学。

三、因图形位置的不确定

例5.在△ABC中，AB=2■，AC=2，BC边上的高AD为■，求BC的长。

错解：很多学生把∠C看成锐角，由两次勾股定理求得BC=4。

但∠C除了锐角之外，还可能是钝角，即BC=2也是本题的解。

例6.在⊙O中，半径为5，两条弦为AB，CD，且AB=6，CD=8，且AB∥CD，求AB，CD之间的距离。

错解：很多学生只考虑圆心的两侧，由垂径定理得距离为7，但忽略了两条弦还可能在同侧，所以距离为1也是本题的解。

例7.已知⊙O1与⊙O2相内切，圆心距d=1，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径。

错解：设⊙O2的半径为r，即3-r=1得r=2，但本题并没明确两圆的大小关系，所以4也是本题的答案。出现这一错误的根源是没有给定明确的图形，而平面几何考试中不给图形也是常有的事，

那并不是出卷教师的疏忽，而是有意为之，其目的就是针对学生审题不仔细，对题意的理解不透彻，从而不能正确画出图形，导致失分。因此就要求教师课上要尽可能多地加强这方面的思维训练，帮助学生在解题时形成正确、合理、严谨的分类思想，进而将一个复杂的问题大大地简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。

总之，以上现象皆因分类讨论思想掌握不牢固所致，分类讨论思想又是数学中一种比较重要的数学思想，通过加强这一思想的训练，有利于提高学生对数学学习的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性。教师在制订教学目标、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并通过具体教学过程努力加以体现。根据初中生的特点，教学中要遵照循序渐进、逐步深化的原则，并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。自觉地重视和加强分类讨论思想的教学，这也是实施素质教育的具体表现，数学中的分类讨论教学与素质教育中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的。所以要求教师多对学生进行培养，进而不断提高逻辑思维能力和分析解决问题能力。

参考文献：

[1]方志平.例谈避免分类讨论的解题策略[J].福建中学数学，2013（01）：3.

[2]张雄.数学方法论与解题研究[M].高等教育出版社，2006-05.

编辑 薛直艳