例谈分类讨论思想在函数单调性问题中的应用

【摘要】分类讨论思想又被称为逻辑划分，指的是将事物进行分类，之后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法。在函数单调性问题中采用分类讨论思想，有助于学生更好地对问题进行理解和解答，帮助学生在解题时做到举一反三，进一步提高学生的解题技巧。本文在阐述分类讨论思想涵义的基础上，明确分类讨论思想解答问题的步骤，并深入探讨了分类讨论思想在函数单调性问题中的应用，旨在为分类讨论思想在教学中的应用提供理论上的指导。

【关键词】分类讨论思想 函数单调性 应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）23-0071-02

一、分类讨论思想涵义概述

在我们遇到难解的问题时，首先要看的就是题目中所具备的条件是否能推论出一个确定答案，一旦出现无法求解的问题时，就要采用分类讨论的思想来将原问题分解成相对独立的“小问题”来逐步回答，通过解答这些小问题最终推证出原问题的答案，整个推论的过程就是分类讨论。分类讨论思想是一种至关重要的数学解题思想，秦九韶、刘微、康托、拉格朗日等许多著名的数学家都曾将分类讨论思想作为解决数学难题的重要途径，这些数学家的作答直接促进了分类讨论思想在数学领域的发展。

综上所述，分类讨论思想的实质就是将整体问题划分为部分问题，增加问题的定解条件，将问题化整为零、各个击破，然后再化积为整的解题策略。每个数学结论都是由其所成立的条件所决定的，按照问题的性质解题者需使用相应的解题策略。在面对有些问题结论的不确定性时，解题者要打破统一解题形式的枷锁，以分类转化等手段对各个问题一一击破。

二、分类讨论思想解答问题的步骤

1.确定分类讨论思想的对象

确定分类讨论思想的对象是分类讨论面临的首要问题，将引起分类讨论的原因找出对于分类讨论的论述来说是一个非常良好的开头。张红军曾在其《数学基本思想方法的探讨--分类讨论思想》一文中提出：分类讨论主要有概念分类型、运算需要型、参数变化型、图形变动型等五种讨论对象。在函数单调性问题上，函数分类讨论大致分为分段函数和函数性质问题两大类，前者是将问题分类讨论后才能进行解答，后者是将含有参数的问题进行解答。数学中常见的分类讨论思想对象有：按照函数性质中的奇偶性对区间上的单调性进行解答；函数参数k的情况与单调性问题解答；二次函数的对称轴以及参数讨论；对数函数对底数的分类；数学问题中参数的不确定性与导函数的单调性等等。

2.按照原则对讨论对象进行合理分类

在确定分类讨论思想的对象之后，我们需要按照原则对讨论对象进行合理分类。分类讨论思想的原则有：按统一标准对每一级别进行分类、逐级进行分类、不得进行越级分类。

3.总结分类讨论

分类讨论思想实际上就是要求解题者要以“合—分—合”的结构对讨论对象进行解答。在分类讨论之前，讨论的对象具有一定的完整性，解题者按照一定的标准对讨论对象进行分类，把整个问题化整为零、化难为易来解答。按照分类讨论逐步解答各项小问题的结论后，解题者还应对所有的结论进行总结归纳。一般来讲，分类讨论思想的总结有以下三种类型：首先是并列总结法；其次是并集归纳法；最后是交集归纳法。

三、分类讨论思想在函数单调性问题中的应用

分类讨论思想在函数单调性等问题中有着广泛的运用，在高考试卷上也占有很大的比例，但分类讨论却是很多考生的弱点。我们通过以下几个例子来探讨下分类讨论思想在函数单调性问题中的应用。

每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法。

在实际教学中，很多学生对题干中的隐含条件及可能性分析存在偏差，对参数a的分类难以做到不重不漏。因此在解决函数单调性问题时，一旦需要分类讨论，便感到困难。然而分类讨论作为一种重要数学思想，它的培养不是一朝一夕就能完成的，需要我们用较长时间持续渗透，让学生逐渐领悟。

教学启示：分类思想作为一种基本的逻辑方法适用于自然科学乃至社会科学研究之中，在数学教学中也发挥着至关重要的作用。学生在运用分类讨论思想解答函数单调性问题的过程中，可以将思考的周密性与条理性发挥到极致，有助于提高学生合理解题的能力。分类讨论思想与其他解题方法相比，最大的不同是它更依赖于经验和解题的习惯。所以教师在日常的授课中应注重培养学生的分类讨论思想，在解题教学中化隐为显、循序渐进，引导学生用分类讨论思想攻破问题，并在解题结束后，随机提问学生分类标准、分类优势等等问题，以提高学生的思维缜密性。

四、结语

分类讨论思想是高中数学中常用的解题思想方法之一，对培养学生解决问题的能力有很大的帮助，并且有利于提高学生数学思维的严谨性、填密性和灵活性。在日常教学过程中，教师应注重培养学生运用分类讨论思想解决问题的能力，引导学生总结解决问题的规律与共性，以达到迅速、准确解题的效果。

参考文献：

[1]吴炯折，林培榕.数学思想方法：创新与应用能力的培养[M].厦门：厦门大学出版社，2009

[2]慕泽刚.用函数思想解证不等式问题[J].数学大世界（高中生数学辅导版），2012（14）

[3]马士磊.浅析分类讨论思想[Jl.理化空间，2012（10）

作者简介：

崔文坤（1987-），男，汉族，山东泰安人，福州第四中学数学老师。