两个积分不等式

赵显曾

(东南大学数学系，南京210096)



两个积分不等式

赵显曾

(东南大学数学系，南京210096)

[摘要]用经典的微积分方法，证明了两个关于定积分的严格不等式.

[关键词]定积分； 积分不等式； 微分中值定理

1. 设非常值函数f(x)在区间[0,1]上有连续的导数，且f(0)=f(1)=0，证明

xM-|f(x)|=xM-|f(x)-f(0)|=x[M-|f′(θ1x)|]≥0;

(1)

(1-x)M-|f(x)|=(1-x)M-|f(x)-f(1)|=(1-x)[M-|f′(θ2x)|]≥0,

(2)

推论1设非常值函数f(x)在区间[0,1]上有连续的导数，且f(0)=f(1)，则有

2. 设非常值函数f(x)在区间[0,1]上有连续的二阶导数，且f(0)=f(1)=0，证明

则g(x)在区间[0,x0]上有连续的二阶导数，且g(0)=g(x0)=0.由于f(x0)≠0，当f(x0)>0时，有

所以存在δ>0，使当0

g(x)>g(x0)=0.

因为在闭区间上连续函数的零点集合

I={x|g(x)=0, 0≤x≤x0}

是非空的闭集，故存在一点a∈I，使当x∈(a,x0)时g(x)>0，即

而当f(x0)<0时，同理有

由微分中值定理可知，存在ξ1∈(a,x0)，使

因为点O(0,0)，N(x0,f(x0))，P(a,f(a))三点在一直线上，有

所以

(3)

于是，存在η1∈(0,ξ1)，使

f′(ξ1)≠f′(η1).

再对f′(x)在区间[η1,ξ1]用微分中值公式，存在τ1∈(η1,ξ1)，使

0≠f′(ξ1)-f′(η1)=(ξ1-η1)f″(τ1),

可知f″(τ1)≠0.也就是说，存在τ1∈(0,x0)，使连续函数f″(x)在区间[0,ξ1]上不恒为零，有

(4)

同理可证，还存在ξ2∈(x0,1)，使

(5)

(6)

由式(3)与式(5)，可得

f(x0)-f(0)=x0f′(ξ1),

f(x0)-f(1)=(x0-1)f′(ξ2),

其中0<ξ1

f(x0)=x0f′(ξ1),

(7)

f(x0)=(x0-1)f′(ξ2).

(8)

将式(7)乘以1-x0加上式(8)乘以x0，得

因此，有

综上，即得所证.

推论2设非常值函数f(x)在区间[0,1]上有连续的二阶导数，且f(0)=f(1)，则有

[参考文献]

[1]赵显曾.微积分教程(上册)[M].南京：东南大学出版社，2002：170.

[收稿日期]2013-04-22

[中图分类号]O172.2

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)01-0078-03