龚桂琼
摘 要:定积分是数学课程的重要内容之一,其内容丰富,涉及领域也非常广泛。本文主要对定积分的几种解题方法进行了总结和分析,归纳出了定义类、几何意义类、公式类、换元类、性质类、特殊类六种题型的解题思路与方法。
关键词:定积分;定义类;几何意义类;公式类;换元类;性质类;特殊类
定积分的解题方法非常多,本文只讨论几种题型,通过这几种定积分的讨论,望能加深读者对定积分的理解,同时也提高对定积分理解能力。
一、定义类
利用定积分的定义求解定积分
例1:求解定积分
解:设f(x)=3x3
∵f(x)=3x3在[0,1]上连续;∴f(x)在[0,1]上可积;
将[0,1]进行等分,分点为■,k=0,1,2,3……n
在[■,■]中取ξk=■
注:此题也可以用其他方法求解。
二、几何意义类
例2.试求f(x)=2sinx在[0,π]上的平均值。
解:设α为f(x)=2sinx在[0,π]上的平均值。
三、公式类
(一)Newlon-Leibniz公式。例3.已知函数f(x)的原函数为F(x),且F(3)=6,F(2)=4,试求 。解:Newlon-Leib
niz公式得: =F(x)=F(3)-F(2)=6-4=2
注:一般能求出原函数的题都可以尝试用Newlon-Leibniz公式计算。
(二)富汝兰公式。例4.计算积分
(c>0,d>0)。解:令f(x)=■-arctanx则f(x)在[0,+∞]上连续。
A>0都收敛
由富汝兰公式得:
(三)递推公式。利用分部积分,可以建立In关于下标的递推公式。再根据此递推公式,把计算In归结为计算In-1,由此类推,最终归结为计算I1,I0。
例5:求解定积分 解:先求
则
又
(四)复化梯形公式。当f(x)的原函数不易求出或找不到时,希望用一个易于求出原函数的函数来近似替代被积函数,从而得到定积分的近似计算公式。梯形公式:T=■(m-n)[f(m)+f(n)]。就是 常用的近似计算公式,这个梯形公式的余项为: 在[n,m]上选取a+1个等距节点:xt=a+th(t=0,1,2,3,……,n),其中h=■称为步长。在每个小区间[xt,xt+1]上应用梯形公式,即得复化梯形公式
余项为 ,即
例6:求解定积分 解:取=■=■=0.125,节点xk=0+■t=■(t=0,1,2,……,8),被积函数f(x)=■在节点处的函数值分别为f(0)=2,f(■)≈1.96923,f(■)≈1.88236
f(■)≈1.75347,f(■)≈1.60000,f(5)≈1.43820,f(■)≈
1.28000,f(■)≈1.13275
则
(五)蒙特卡罗方法:此方法可以将积分变量转化成概率密度函数,再利用切比雪夫大数定理,将基本的 近似转化成: 类似的,计算定积分 可如下进行:
换元,令x=c+(d-c)m得: ,
…….(1)
例7:求 的近似值。解:从下随机数表中取出20个数,t1,t2……t20,在(1)式中,d=0.2,c=0,n=20,x=■
例表计算如下:
由(1):
四、换元类
(一)代数换元。例8:求解定积分
解: 则 , , ∵x从0到1 ∴t从1到2
(二)三角换元。例9:求解定积分
令x=sinx则dx=costdt
五、性质类
利用积分的性质,求解定积分
(一)对称性。例10:求解定积分
解:令f(x)=cosx,易知为f(x)关于R的偶函数。
注:本题利用被积函数的对称性,使得积分限减半,从而更轻松的求出答案。
六、特殊类
(一)可化为有理函数。例11:求解定积分
解:令
则
(二)含绝对值。例12:求解定积分
解:当-2≤x<0时,
当0≤x<2时,
综上所述:定积分的计算方法有很多,但是定积分的题型是很有限的,只要我们牢固的掌握定积分的典型题型,再加以灵活运用,就能将所学的定积分知识融会贯通,正确的求解定积分。
参考文献:
[1] 侯风波,高等数学[M].上海:上海大学出版社,2009
[2] 华东师范大学数学系主编,数学分析(第三版)[M],北京:高等教育出版社,2001(2012.8重印)