例谈定积分的几种解题方法

龚桂琼

摘 要：定积分是数学课程的重要内容之一，其内容丰富，涉及领域也非常广泛。本文主要对定积分的几种解题方法进行了总结和分析，归纳出了定义类、几何意义类、公式类、换元类、性质类、特殊类六种题型的解题思路与方法。

关键词：定积分；定义类；几何意义类；公式类；换元类；性质类；特殊类

定积分的解题方法非常多，本文只讨论几种题型，通过这几种定积分的讨论，望能加深读者对定积分的理解，同时也提高对定积分理解能力。

一、定义类

利用定积分的定义求解定积分

例1：求解定积分

解：设f（x）=3x3

∵f（x）=3x3在[0，1]上连续；∴f（x）在[0，1]上可积；

将[0，1]进行等分，分点为■，k=0，1，2，3……n

在[■，■]中取ξk=■

注：此题也可以用其他方法求解。

二、几何意义类

例2.试求f（x）=2sinx在[0，π]上的平均值。

解：设α为f（x）=2sinx在[0，π]上的平均值。

三、公式类

（一）Newlon-Leibniz公式。例3.已知函数f（x）的原函数为F（x），且F（3）=6，F（2）=4，试求 。解：Newlon-Leib

niz公式得： =F（x）=F（3）-F（2）=6-4=2

注：一般能求出原函数的题都可以尝试用Newlon-Leibniz公式计算。

（二）富汝兰公式。例4.计算积分

（c>0，d>0）。解：令f（x）=■-arctanx则f（x）在[0，+∞]上连续。

A>0都收敛

由富汝兰公式得：

（三）递推公式。利用分部积分，可以建立In关于下标的递推公式。再根据此递推公式，把计算In归结为计算In-1，由此类推，最终归结为计算I1，I0。

例5：求解定积分 解：先求

则

又

（四）复化梯形公式。当f（x）的原函数不易求出或找不到时，希望用一个易于求出原函数的函数来近似替代被积函数，从而得到定积分的近似计算公式。梯形公式：T=■（m-n）[f（m）+f（n）]。就是 常用的近似计算公式，这个梯形公式的余项为： 在[n，m]上选取a+1个等距节点：xt=a+th（t=0，1，2，3，……，n），其中h=■称为步长。在每个小区间[xt，xt+1]上应用梯形公式，即得复化梯形公式

余项为 ，即

例6：求解定积分 解：取=■=■=0.125，节点xk=0+■t=■（t=0，1，2，……，8），被积函数f（x）=■在节点处的函数值分别为f（0）=2，f（■）≈1.96923，f（■）≈1.88236

f（■）≈1.75347，f（■）≈1.60000，f（5）≈1.43820，f（■）≈

1.28000，f（■）≈1.13275

则

（五）蒙特卡罗方法：此方法可以将积分变量转化成概率密度函数，再利用切比雪夫大数定理，将基本的 近似转化成： 类似的，计算定积分 可如下进行：

换元，令x=c+（d-c）m得： ，

…….（1）

例7：求 的近似值。解：从下随机数表中取出20个数，t1，t2……t20，在（1）式中，d=0.2，c=0，n=20，x=■

例表计算如下：

由（1）：

四、换元类

（一）代数换元。例8：求解定积分

解： 则 ， ， ∵x从0到1 ∴t从1到2

（二）三角换元。例9：求解定积分

令x=sinx则dx=costdt

五、性质类

利用积分的性质，求解定积分

（一）对称性。例10：求解定积分

解：令f（x）=cosx，易知为f（x）关于R的偶函数。

注：本题利用被积函数的对称性，使得积分限减半，从而更轻松的求出答案。

六、特殊类

（一）可化为有理函数。例11：求解定积分

解：令

则

（二）含绝对值。例12：求解定积分

解：当-2≤x<0时，

当0≤x<2时，

综上所述：定积分的计算方法有很多，但是定积分的题型是很有限的，只要我们牢固的掌握定积分的典型题型，再加以灵活运用，就能将所学的定积分知识融会贯通，正确的求解定积分。

参考文献：

[1] 侯风波，高等数学[M].上海：上海大学出版社，2009

[2] 华东师范大学数学系主编，数学分析（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2001（2012.8重印）