高中数学定积分的应用

王荣佺

摘要：导数与定积分是普通高中数学的重要内容，其概念抽象、公式灵活、性质多样、应用广泛，尤其是定积分的微分积分思想將定积分体现得淋漓尽致，教学中利用关于它的微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公式）计算证明曲边图形面积等问题，可以说是巧妙至极.

关键词：数学 ；定积分；应用 ；面积；参数

一、利用定积分，求解曲边图形面积

初等数学几何学中，我们求解平面图形的面积，通常是一些比较规则的图形，诸如三角形、正方形、矩形、梯形、平行四边形、圆等等，都有现成的公式，即使图形不太规则，有可能通过分割补形转化为规则的图形，但是遇到不规则图形，尤其是曲边图形的面积深感困惑.实际上，只要知道曲边所在曲线的函数关系式y=f（x），我们可以通过定积分来求曲边图形的面积.

例1如图，抛物线y=-x2+4x-3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成图形的面积为.

二、利用定积分，求解参数的值

在求解平面曲边图形面积时，本身曲边图形面积就不好计算，有时还会参杂一些参数，让求参数的值或参数取值范围，这样的问题更是让人棘手.实际上，只要知道曲边所在曲线的函数关系式y=f（x），我们可以通过定积分来寻找参数满足的条件方程（或不等式），这样参数问题便迎刃而解.

例2如图所示，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.

解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0，x2=1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积

三、利用定积分，证明圆的面积

从小学上到高中，同学们就一直利用圆的面积公式S=πR2，但是为什么是这样，它是怎么来的，也许有人思考过，也问过老师，也许有人压根儿就从没想过.其实，学了定积分，知道函数y=f（x）的导数y′x=f ′（x）=dydx，我们就有能力来证明这个公式了.

例3设圆x2+y2=R2，求证：其面积S=πR2.

证明由圆的对称性知，圆在四个象限内面积相等，其面积是第一象限扇形（曲边梯形）面积的4倍，而在第一象限内曲线的函数关系是y=R2-x2（0≤x≤R）.

所以S=4∫R0R2-x2dx.

四、利用定积分，证明椭圆面积

和圆一样，椭圆也是一个既是中心对称又是轴对称的图形，但是提及它的面积，有的同学知道，就是S=πab （其中a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长），而有的同学不知道，其实学了定积分，知道函数y=f（x）的导数yx=f ′（x）=dydx ，我们也有能力来证明这个公式了.

例4设椭圆x2a2+y2b2=1， 求证：其面积S=πab

证明由椭圆的对称性知，椭圆在四个象限内面积相等，其面积是第一象限扇形（曲边梯形）

总之，初等数学中定积分的应用相当广泛，这里所提及的计算证明曲边图形面积等问题，只是定积分应用的一个缩影.

在平时的教学工作中，作为一线教师，如果我们能及时探索研究出一些有用的规律，或者有参考价值的结论，无疑对学生学习数学能力的增强和教育教学质量的提高，势必起到了“正能量”奇效，我们何乐而不为呢？科学在进步，社会在发展，要求在提高，我们还有什么理由仅仅满足于当前教学不去挖掘发现它们呢？