关于定积分换元定理条件的思考

杨立军

【摘要】定积分的换元法是通过变量代换实现从繁到简、从难到易、从未知向已知转化的有效计算方法.本文针对不同教材对定积分换元定理提出不同条件的情况，提出自己的思考供大家探讨.

【关键词】定积分；换元法定理；换元法条件

为了正确把握定积分换元定理的使用条件，本人查阅了大量的高数教材，发现不同的教材对定积分换元法定理表述各有不同，差别主要表现在所要求的条件不同.在此作者通过对换元法定理证明过程和实例的分析提出个人对定积分换元条件的看法.

一、定积分换元定理条件分析

定积分换元法定理的证明的依据是牛顿—莱布尼兹公式.本人通过定积分换元法定理的证明过程分析发现，换元公式成立的不可或缺条件是：①函数f（x）在[a，b]上连续；②函数x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上具有连续导数φ′（t）；③φ（α）=a，φ（β）=b.但在不同的教材中，除此三个条件外还提出了如：t在[α，β]（或[β，α]）变动时，x=φ（t）的值在[a，b]上变动其值不越出[a，b]范围；x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上单值或单调或单值且单调等条件.这些条件是否真的必需？下面通过几则实例来加以验证说明.

二、定积分换元定理实例分析

实例1 计算∫a0a2-x2dx（a>0）.令x=asint，此函数单值、不单调，符合换元三条件.但x=0时，满足条件“φ（α）=a”的α取值有许多：α=kπ（k∈Z）；同样，x=a时，满足条件“φ（β）=b”的β取值也有许多：β=2kπ+π2（k∈Z），即符合定理的解法有很多.且只要是设x=asint，则总有∫a2-x2dx=a2∫costcostdt.

在解法1中，当t在[-1，3]变动时，当t=0时，x=54已超出了[-1，1]的范围，没影响结论的正确性.解法2中，由于所选换元区间保证了替代函数的单值和单调，相对要简捷一些.

实例3 求∫2-1x2dx，若令x2=t，则替代函数x=±t不单值也不单调.

从定积的换元定理的证明过程所需要的条件和上面实例的分析讨论知，原则上讲，定积分的换元只要满足“函数f（x）在[a，b]上连续；函数x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上具有连续导数φ′（t）；φ（α）=a，φ（β）=b”三个条件即可，并不需强调替代函数的单值和单调性和它的值域范围.但在实际应用中，如果换元的过程中能为替代函数选取一个适当的相应区间来保证其单值、单调性（或通过切分积分区间为部分区间来保证替代函数的单值、单调性）来实施换元，则不仅可使换元法的使用快捷、方便，而且可避免出错.

【参考文献】

[1]袁肇邦.关于《定积分换元法定理》[J].鞍山师范学院学报，1992（03）.

[2]王国政.高等数学[M].上海：复旦大学出版社，2007.

[3]同济大学.高等数学[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[4]樊映川.高等数学讲义[M].第2版.北京：人民教育出版社，1964.