三重积分的计算方法

张辉　李应岐　陈春梅

【摘要】介绍了计算直角坐标下三重积分的六种方法，给出相应的求解思路，并辅以典型例题，旨在使学生对三重积分的计算有更深的理解和掌握。

【关键词】三重积分 定积分 对称性 第二类曲面积分

【基金项目】陕西省高等教育教学改革研究项目重点课题（编号：15BZ74）、第二炮兵工程大学科学基金青年项目（编号： 2015QNJJ002）、第二炮兵工程大学教育教学理论研究青年项目（编号：EPGC2015010）资助。

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0233-02

三重积分是高等数学多元函数积分学的重要内容，如何计算三重积分是学生学习的重点和难点。教材[1]主要介绍了计算直角坐标下三重积分的四种方法：利用投影法化为三次积分、利用截面法化为定积分、化为柱面坐标和化为球面坐标的三重积分。为使学生能够深刻理解三重积分，下面再介绍六种计算三重积分的方法，给出相应的求解思路，并辅以典型例题供参考学习，望初学者灵活使用，达到事半功倍、举一反三的效果。

为了确保三重积分的存在性，我们假设被积函数均是连续或分块连续。

1.利用对称性和奇偶性

利用积分区域？赘的对称性和被积函数f（x，y，z）的奇偶性可简化某类三重积分的计算。

参考文献：

[1]同济大学数学系. 高等数学（下册）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：157-163.

[2]喻德生. 关于简化计算多元函数积分的一种方法[J].高等数学研究，2006，9（2）：10-12.

[3]李冬辉，闫德明. 曲面积分在三重积分计算中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2007，16（2）：66-68.

[4]李冬辉，闫德明. 第二型曲面积分在三重积分计算中的应用[J].大学数学，2008，24（4）：169-173.

[5]同济大学数学系. 高等数学（上册）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：272-274.