无穷和式极限解法之我见

李志文++陈勇

摘 要： 本文深入研究了无穷和式极限的解法，给出了该类极限求解思路，并结合大量案例，采用初等变形、夹逼定理、第二重要极限、定积分概念、级数及其和函数等微积分知识求解了无穷和式极限问题.

关键词： 初等变形 夹逼定理 定积分 第二重要极限 级数

无穷和式极限问题是微积分的重难点内容，其题目具有较强的综合性和复杂性，是各级考试和竞赛的重要考点，常用来考查学习者的微积分运算能力，并以此衡量其高等数学的学习水平.

无穷和式极限的求解方法多种多样且富于变化。在无穷和式极限中，由于待求极限函数是无穷多项之和，自然让人想到可利用级数知识求解；很多无穷和式极限往往是数列极限，可以先对分式进行放缩处理，再采用夹逼定理求解；还有一些无穷和式极限题目需要利用凑项、裂项、拆项相消等技巧，对待求极限函数采用高斯公式、等比数列前n项和公式、三角变形及其他公式进行初等变形，化简题目后再求解；而某些特殊类型题目，则可以结合待求极限函数的特点，利用定积分概念、第二重要极限求极限。总而言之，无穷和式极限的题目体现出题目难、方法多、思路巧等特点，常常构思巧妙、趣味无穷。下面通过实例详细介绍无穷和式极限的多种求解方法。

解法1.初等变形法

【原理】用初等运算、变量代换、恒等变形等方法将极限式化简，再结合其他方法求解。

【小结】无穷和式极限问题因其形式的复杂性和多样性，决定了极限求法的多元化和综合性。

需要特别说明的是，在具体问题的求解中常常需要将以上方法混合使用，比如，初等变形时往往需要凑项、裂项，并结合拆项相消法求解极限；夹逼定理常常和定积分法搭配使用；而级数的和概念常常伴随着初等变形使用，等等。总之，学习者需多加训练方可熟能生巧。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版上册）.高等教育出版社，2007.4（第六版）.

[2]吴传生.经济数学——微积分.高等教育出版社，2009.4（第2版）.

[3]李军英，刘碧玉，韩旭里.微积分（上册）（第二版）.北京：科学出版社，2008.7（第二版）.

[4]孙洪祥，王晓红.高等数学难题解题方法选讲.机械工业出版社，2003.6（2015.7重印）.