评析一道高考题的三种解法

胡明亮

高三教学要重视多题一解和一题多解，研究知识与方法的内在联系，并从中获得解题的思路与技能.

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅱ卷）文科第21题：已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k<1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.

这是一道高考压轴题，问题（Ⅰ）解法简单，在此不赘述.问题（Ⅱ），对于文科学生还是有一定难度的.现提供三种解法，并分析各自优劣，让同学们从中去品味不同解法间的差异与联系.

解法1 利用局部数据特征，进行逻辑分析，研究导函数与函数关系.

解 由（Ⅰ）知，f（x）=x3-3x2+x+2.

设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，由题设知1-k>0.当x≤0时，g′（x）=3x2-6x+1-k>0，g（x）单调递增，g（-1）=k-1<0，g（0）>0，所以g（x）=0在（-∞，0]有唯一实根.

当x>0时，令h（x）=x3-3x2+4，则g（x）=h（x）+（1-k）x>h（x），h′（x）=3x2-6x=3x（x-2），h（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，所以g（x）>h（x）≥h（2）=0，所以g（x）=0在（0，+∞）没有实根.

综上，g（x）=0在R有唯一实根，即曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.

评析 这是命题人给出的解答，思路巧妙，运算量小，步骤少，难点在：为什么要分x的正、负进行讨论.此法包含局部拼凑、逻辑分析、合情推理等高端思维形式，对一般学生来说，思维难度大，不容易想到.

解法2 使用分离字母的方法，把方程的解转化为函数图像交点问题.

解 要使曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点，设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，则g（x）=0只有一个解.

因为x=0不是它的解，所以可分离字母：

.

与此同时，①的左边k-1在k<1时为负，所以y=k-1与y=h（x）仅有一个交点.

评析 这是最简单的解法，分离字母是中学常用的方法，此法不需分类讨论，属于演绎推理，但包含了函数与方程的思想，困难会出在三次方程的求解，中学生不会求解一般的三次方程，能解的只有少部分方程，此外对借助导数研究函数图像要求较高.

解法3 用三次函数模型借助图像变化研究极值点位置.

解 由解法1，设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，其导函数为g′（x）=3x2-6x+1-k=0 ②，Δ=12k+24.

（1）当-2

因此g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4=-（x-2）（2x2+x+2）.

又x10，g（x2）>0.

g（x）的单调性如下表：

g（x）的极大、极小值均为正，由三次函数图像（如右图）知：g（x）与x轴有且仅有一个交点.

（2）当k≤-2时，②的值为非正，g（x）在R上从-∞单调递增至+∞，结论显然成立.

综上得结论成立.

评析 这是最自然的一种思路，也是中学反复训练过的方法，属于演绎推理，但对字母运算要求较高，消去参数的技巧用到了整体代换思想，此法学生要非常清楚三次函数的图像及各种变化.

人们常说“会就不难”，解题方法无所谓优劣，会解就好.在高三备考时，自己对比不同解法，挖拓其中的联系，内化为对问题本质的认识，日积月累解题能力会大幅提升.

本文系四川省中小学教学名师专项课题“在高中数学教学中落实‘四基的案例研究”（川教函[2012]901号）的成果之一.