对二重标准筛法的探讨

乔西铭

【摘要】通常人们把公元前三世纪古希腊学者埃拉托斯特尼（Eratoshnenes）寻找素数的方法称为筛法.它的本质就是从自然数集中划去具有某种特征的数，从此意义出发，筛法可看作是两个集合A、B的差集A＼B.

本文在《对一种筛法的探讨》注的基础上，又一次定义了“二重标准筛法”，并深入探讨它的性质，得出差集a＼＼b＼＼c 非空的条件，从而使哥德巴赫猜想的证明变得轻而易举.

【关键词】标准二重筛法；剩余类；差集

为便于叙述，将本文中所用字母说明如下.

素数是有序的，用Pk，k∈N+，表示第k个素数，例如p1=2，p2=3，….

标准二重筛法有如下性质.

性质一： n∈z，标准二重筛法 Ck|ba=Ck|b+n1Gka+n2Gk（n∈z ））.

同理反之亦然，所以原命题成立.

根据这一性质，对任意的标准二重筛法Ck|ba的研究，可用对Ck|-dd的研究来代替.

性质三：标准二重筛法中有且仅有∏ki=2（pi-x）个元素，其中，pi |d 时 x=1，pid时 x=2.

证明：（1）验证.当k=2时，p2=3，p1=2，G2=6，c，则I2={m | c+1≤m≤c+6}.

当k=t+1时，前t+1个素数模的最小公倍数为Gt+1=pt+1×Gt.

故Dx中的元素属于模pt+1的pt+1个不同的剩余类，且每个剩余类中有且仅有一个元素；而D中的元素属于模pt+1的pt+1个不同的剩余类，且每个剩余类中有且仅有∏ti=2（pi-x）个元素.

对性质四也可以理解为将标准二重筛法Ck|-dd的全集Ik平分为p等份，由于PGK，所以它的每一个内分点都不会落在整数上.因此它的每一等份内的所有元素都对应着标准二重筛法Ck|-pdpd中对模p的同一剩余类.例如第一等份内的所有元素都对应着标准二重筛法Ck|-pdpd中被模p整除所有元素，第二等份内的所有元素都对应着标准二重筛法Ck|-pdpd中对模p与（-Gk）同余的所有元素，依次类推.p个等份则对应模p的每一个剩余类的所有元素.

同理，对任意有限区间内的元素，性质四仍然适用.

命题：k，k∈z+，则确定了前k个素数， a，a∈z+，a>2，且2 a< p2k+1，设 Ak（2a）={m|1pi，i=1，2，…，k}，Ck（2a）={y|y=2a-x，x∈Bk（0）}，则Ak（2a）＼Bk（0）＼＼Ck（2a）非空.

分析 在Ak（2a）中，两数之和为2a的数恰好有a-1对.集合Bk（0）表示所有的合数集合.对Ak（2a）＼Bk（0）而言，它是经典的埃氏筛法.所以集合Ak（2a）＼Bk（0）的元素都是小于2a-1的所有素数.而集合Ck（2a）恰好表示与某合数的和为2a的素数.因此，对Ak（2a）＼Bk（0）＼＼Ck（2a）而言，要么就是空集，要么两个奇素数的和为2a.这便是举世瞩目的哥德巴赫猜想.因此只要对任意大的整数2a，证明本命题成立，就证明了哥德巴赫猜想.

在命题中，不难发现，要证对任意的2a，命题成立，凭借以往对整数的认识，整数1作为整数的单位，不断叠加便得到所有的整数.这样就可以对a用数学归纳法加以证明.因为2a与2a+2所构成差集没有任何联系，所以显然是行不通的！

如果对整数的认识改换个角度，比如说，对模2、3、5来说，对任意的整数，其实就是任意的连续的30个整数.对30以内的任意一数m与m+30n所构成的差集对模2、3、5来说有子集关系.所以对模的个数k采用数学归纳法来证明，实现对2a是任意大的自然数的证明.

证明：（一）验证：当k=3时，即p1=2，p2=3，p3=5时，对任意一个2a，都可以表示为2a=30n+2b，n∈z，2b∈{6，8，…，30，32，34}中的任意一个偶数，经一一验证知，差集 A3（2b）＼＼B3（0）＼＼C3（2b）非空.

对任意一个2a，都可以表示为2a=30n+2b，n∈z.根据二重标准筛法性质1的推论以及性质3知，差集中将至少有3n个大于5的元素.

所以当k=3时，2a<25时差集A3（2a）＼B3（0）＼＼C3（2a）非空； a>25时，A3（2a）＼B3（0）＼＼C3（2a）中有若干个元素.

当k=4时，p4=7.前4个素数模的最小公倍数是210.要证对任意大的偶数，命题成立，就是要证5<2a<215的任意偶数，差集非空.将2a表示为2a=2b+30n，n∈z，因为2a≡2b（mod2、3、5），由性质1、3知，当2b每增加30个数，差集中就增加3个元素，这些元素至少是模7的三个剩余类，任意划去模7的两个剩余类，当然留下一个剩余类，即非空.

当 2a=2b时，由 k=3的证明知，差集A3（2b）＼＼B3（0）＼＼C3（2b）非空.又因为2b<49，所以从中不会划去模7的任何元素，所以A4（2b）＼＼B4（0）＼＼C4（2b）=A3（2b）＼＼B3（0）＼＼C3（2b）非空.

当2a>49时，2a=2b+30n中的字母n>0，所以A4（2b）＼＼B4（0）＼＼C4（2b）中有一定数量的元素.

所以当k=4时，2a<49时，差集A4（2a）＼＼B4（0）＼＼C4（2a）非空.2a>49时，差集A4（2a）＼＼B4（0）＼＼C4（2a）有若干个元素.

（二）假设当k=t>3时，2 apt2时，（2a）＼Bt（0）＼＼Ct（2a）中有若干个元素.

当k=t+1时，pk=pt+1，设前pt个模的最小公倍数是Gt.前pt+1个模的最小公倍数是Gt+1.要证对任意大的偶数命题成立，就是要证5<2a

当2b

所以 2b

当2b>P2t+1+1时，在差集At（2b）＼Bt（0）＼＼Ct（2b）中，可能出现元素p2t+1 等被pt+1整除的元素，以及模pt+1 |（2b-P2t+1）的元素.当然这两个剩余类的元素都应该划去.根据k=t的假设知，在差集At（2b）＼Bt（0）＼＼Ct（2b）中有若干个元素.根据性质四知，这些元素是模pt的许多剩余类，也是模pt+1的许多剩余类，因此 从差集中划去模pt+1整除和2b与 P2t+1同余的两个剩余类后，仍然保留着模pt+1的其余剩余类元素.

而At+1（2a）＼Bt+1（0）＼＼Ct+1（2a）就是从At（2a）＼Bt（0）＼＼Ct（2a）中继续划去模pt+1 整除和与2a同余的两个剩余类.

所以，当k=t+1时，对任意2a，At+1（2a）＼Bt+1（0）＼＼Ct+1（2a）中有若干个元素.

由（一）、（二）两步的证明可知，对k>2的任意自然数差集Ak（2a）＼Bk（0）＼＼Ck（2a）非空.

定理就是对文章前面所提问题“差集A＼＼B＼＼C何时非空”的回答.

推论：k，k∈z，则确定了前k个素数，a，a∈z，且a

应用举例：

在数论研究中，把差为2的两个素数习惯称为孪生素数或姊妹素数，如11，13；17，19等等.但是这样的素数是否是无限的，还没有得到证明.现用反证明法证明如下：

证明：假设这样的素数是有限的，不妨设其最大的一对孪生素数为pk，pk+2.

设 Ak={m|1≤m≤p2k+1}，Bk（1）=∪ki=1[1]pi∪∪ki=1[-1]pi.根据定理，Ak＼Bk中非空.即至少存在元素m，且 pi（m+1），pi| （m-1），i=1，2，…，k ；pk

所以孪生素数是无限的.

注：《对一种筛法的探讨》发布表于《太原理工大学学报》，2005年第1期，第107页.