一道高考题的另解与探究

毛建军

一、高考题呈现

（江苏·2014·17）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.

（1）若点C的坐标为43，13，且BF2=2，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.

二、解法探究

由解法二可知：第1小题中的条件BF2=2是多余的，但因解法二中涉及高次方程的解法，而高次方程的解法是超纲的，故此题中出现条件BF2=2的目的是降低难度，但无法避免学生会想到此法来解题.

笔者对此题作如下重新设计，可将解法一、二融入其中，也可避免了高次方程的解法.

三、试题重设及解法探究

设计一：在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.

（1）若点C的坐标为43，m，且BF2=2，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.

解 （1）由题意得：a=2169a2+m2b2=1b=3m，c=a2-b2=2-9m2.

解得：m=13.即：b=1.故椭圆方程为x22+y2=1.

设计二：（1）若点C的坐标为m，13，且BF2=2，求椭圆的方程.（解法同上）

设计三：（1）若点C的坐标为（4m，m），且BF2=2，求椭圆的方程.（解法中涉及无理方程与高次方程的解法）