高等数学中的一题多解

金爱莲

摘 要 在高等数学教学过程中，学生的解题能力往往得不到提高。本文通过三个典型问题的一题多解来培养学生的发散思维和创新精神，开阔解题思路，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

关键词 高等数学 一题多解 解题思路

中图分类号：O13 文献标识码：A

Several Solutions to One Problem in Higher Mathematics

JIN Ailian

（Department of Mathematics， College of Sciences， Yanbian University， Yanji， Yanbian 133002）

Abstract In the higher mathematics teaching process， students` ability of solving problems are often not improve. In this paper， the three typical problems of several solutions to cultivate students` divergent thinking and innovative spirit， open thinking， so as to improve the students` ability to analyze and solve problems.

Key words higher mathematics； several solutions to one problem； problem-solving ideas

高等數学是理工科学院一门十分重要的公共基础课程，但在实际教学中，很多学生的解题能力往往得不到提高，分析其原因主要就是学生解题思维得不到锻炼，为了做题而做题，不能举一反三。对同一例题，如果从不同的角度去分析，采用不同的处理方法，则可得到不同的解法，通过比较，可选择最优的解法，这对培养学生的分析问题，解决问题以及综合运用知识的能力有极大的好处。为此，以下通过高等数学中三个“一题多解”的例子，给出发散思维在高等数学中的应用。

1 求隐函数的导数问题

例1 设方程 + = （ + ），求。

解法1：两边对求导

+ 2 + · = （ + ）·（1 + 2）

=

解法2：令（） = + （ + ）

= + （ + ）

=

所以 = =

解法3：（ + ） = （（ + ））

+ + = （ + ）·（ + ）

[（2 + ） + （ + ）] = [ + （ + ）]

=

2 求极限问题

例2 求极限 。

解法1：直接用洛必达法则。

= =

= = 1

解法2：用等价无穷小替换。

=

= · = = 1

或

解法3：用拉格朗日中值定理解。

在， 之间对用拉格朗日中值定理有 = ，在， 之间。

当→0， →0，所以→0。故原式 = = 1。

3 求不定积分问题

三角函数的不定积分是一类比较复杂的不定积分，灵活性较大，因此是不定积分中较难掌握的一类积分。

例3 求。

解法1：令 = ，则 = ， =

原式 = = 2 = +

= +

解法2：原式 = =

= 2 = +

解法3：原式 = =

因为（）= [（）] = （）

所以原式 =

解法4：原式 = =

= +

解法5：原式 = =

= （1+ ）

= + （） + （1+ ） +

= +

解法6：令 = 1+ ，则

原式

再令 = ，则 = ， =

所以原式 = ·· = = +

= + = + = +

高等数学中，能利用一题多解例子还有很多，在平时教学中，教师要积极引导学生进行这方面的训练，不仅能巩固基本知识，掌握基本技能技巧，而且有助于培养全面分析问题的能力，培养具有灵活性和多向思维能力。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 中国人民大学.朱来义.微积分[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 黄军华.不定积分的一题多解[J].玉林师范学院学报，2005.26（3）：4-7.