“设错—纠错”在高中数学教学中的应用

赵小平

摘 要：新课改下如何提高课堂教学的有效性是一个很重要的课题。在数学课堂教学中，教师适时合理地“巧设错误”，引导学生发现错误，透过表面现象，抓住问题的本质，多角度地分析，及时纠正错误。通过这种“设错-纠错”的方式吸引学生的注意力，促进学生对所学知识的理解和消化，激起学生的求知欲，从而达到不断提高教学效果的目的。

关键词：设错；纠错；课堂效率

现代心理学告诉我们：认知是指当感知过的事物重新出现时，觉得熟悉并确认是以前感知过的事物的心理活动过程。当新出现的事物与感知过的事物相类似但又有所不同时，便产生了认知冲突，而学习的过程，也正是学生不断产生认知冲突的过程。在这个过程中，新、旧知识产生冲突，其实这是好事，只要教师善于利用有效的教学手段，去引导学生正确地区分新、旧知识的关系，透过现象看本质，学生就会对这种新知识的印象更深刻，更不容易遗忘，更能使学生形成学习能力，从而提高课堂教学的有效性。由于受认知水平的限制，学生在学习过程中，总会不可避免地犯错。犯错并不可怕，相反，错误能给人以警示，使人得到启迪。因此在课堂教学中，可以发挥错误的正面功能，提高课堂的学习效率。如教师适时地“设错”，让学生及时“纠错”，通过他们对错误的重新认识，积极探索事物的本质及其内涵，使他们对所学的知识印象更深刻。这样的课堂教学，既符合学生的认知水平，又能吸引学生的注意力。同时学生经过“设错-纠错”这样一番“折腾”，激活了他们的学习内驱力，增强了他们的学习能力。

在数学课堂教学中，引用“设错-纠错”这一教学形式，可涉及不同的教学内容和不同的教学环节。本文结合笔者多年的教学实践，从以下四方面对“设错-纠错”应如何应用谈谈粗浅的看法。

一、在概念的理解上“设错-纠错”，帮助学生掌握概念的内涵

受到知识水平和理解能力的限制，学生在认知的过程中，对概念、定义、定理的内涵理解比较肤浅甚至有偏差，此时最容易犯错。所以，教师在备课时，可从学生的心理立场出发，故意巧设一些“错误”让学生去识别。通过师生的“设错-纠错”这种形式的互动，让学生从“错误”中走出来，从而加深对概念、定义、定理的理解。比如，在學习概率“等可能”与“非等可能”这两个概念时，学生的理解比较模糊，为了使学生能分清它们，准确理解这两个概念的本质，教师在备课时对这两个概念可以做如下处理：

例：掷两枚质地均匀的骰子，求事件A为出现的点数之和等于4的概率？

教师提供解法：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4…，12}，即事件总数有11个。事件A包含的基本事件有1个，由概率公式P（A）=■，得P（A）=■。

教师观察学生的反应，如果没有人提出异议，先提示这种解法错了，接下来请学生思考这种解法错在哪里。

生：有错吗？（学生感觉很迷茫。）

生：好像不对？（少数同学有所警觉，但又说不出错误的原因。）

师：想想“非等可能”与“等可能”的关系吧！

经过一阵探究后，部分学生发现了对于公式P（A）=■，仅当实验所述的所有基本事件是“等可能”时才成立。例如，点数之和取3和4不是等可能的，“和为3”有两种情况（1，2），（2，1），“和为4”有（1，3）（2，2）（3，1）共3种的情况。如果这样分析，掷两枚骰子可能出现“等可能”的情况就共有36个基本事件，在这些结果中事件A包含3个基本事件，所以P（A）=■=■。

教师从学生心理立场出发，抓住他们在理解数学教材内容时可能产生疑惑的机会，以此“设错”，诱发、暴露学生认知中可能存在的一些错误或遗漏。此时，教师应学会及时捕捉、弄清教学对象的认知特点，通过有效的教学措施，使教学形式、方法具有针对性，及时对学生认知中错误、片面的观点进行“纠错”，使之转化为正确、完整的科学概念和方法。

二、在公式的使用中“设错-纠错”，帮助学生正确掌握公式

公式是解决数学问题的有力武器。学生只有理解公式，才能正确使用公式解决数学问题。因此公式教学中，要全面掌握公式，除了要求学生掌握公式本身外，还不能忽视公式成立的条件。比如，我们在学习不等式时，学生常常忽略等号成立的条件，导致解题出现错误，针对这种现象，教师的“设错-纠错”就显得很有必要。

例：已知正数a，b满足a+b=1，求（a+2b）（■+■）的最小值？

下面教师提供均值不等式解法一：

因为a+2b≥2■——①又因为■+■≥2■——②所以（a+2b）（■+■）≥2■·2■=8——③

师：这种解法对吗？（当然有少数同学发现了错误，但是大多数同学并没有发现问题）

生：到底错在哪里？

教师看到学生还一时没看出来，再提供解法二：

（a+2b）（■+■）=5+■+■≥5+2■=9当且仅当■=■与a+b=1时，即当a=■，b=■上式不等式等号成立。

师：这两种解法的答案不同，肯定有一种解法错了。这时，学生必然产生迫切的求知心理和想弄清错因的强烈愿望，此时教师打破设置的悬念，及时进行“纠错”。这道题的解法看似正确，但忽略不等式的等号成立的条件。（1）式不等式“=”成立的条件是a=2b。（2）式不等式“=”成立的条件是■=■即b=2a。要使（3）式的“=”成立，显然两式的等号都要同时成立，显然两式的等号不可能同时成立，这就导致（3）式“=”取不到，即（a+2b）（■+■）的最小值的结果错误。这道题的解法较多，教师可以从换元法、柯西不等式法等方法切入，都可很容易地解决问题。

教师根据学生的实际，适时“设错”，让学生意识到自己的思维漏洞，这时教师善于抓住学生心迫求而未得，口欲言而不能的有利时机，引导学生进行“纠错”，可以最大程度地调动起学生的探索求知欲望，培养学生严密的逻辑思维能力。

三、在解题习惯上“设错-纠错”，纠正学生的不良思维习惯

我们经常发现，很多学生有许多不良的解题习惯，比如分析时不画图，不建立坐标系，方程两边随意除以代数式等，久而久之，习惯成自然，直接导致解题出错。这些不良习惯是长期不良思维的结果。针对这种现象，教师要在适当的时候有意“设错”，通过师生互动，引导学生“纠错”，从而纠正学生的不良思维习惯。譬如，我们在解不等式的学习中，学生常常在不等式两边同时除以一个数或式，但是没有考虑它们是否为零的问题。为了引起学生的重视，教师可以这样“设错”：

例：求解不等式2x（x+3）<5（x+3）

这道题看似简单，但是在解答时犯错误的同学不在少数，教师有必要以“设错”警示学生，例如上面的题目有学生这样解答：

解：由已知化简得，2x<5所以x<2.5。

教师：请同学们看看，对吗？

学生：对呀！难道不是吗？平时不都是这样解的吗？（一个学生大胆地说）

其他学生嘴上没说什么，但心里默认。教师为了让学生能发现问题，再提供另一种解法进行对比，如把不等式化为：2x2+x-15<0，得-3

四、在易错问题上“设错-纠错”，提高学生思维的严密性

逻辑思维的基本过程包括分析、综合、比较、抽象、概括和具体化，严密性的逻辑思维才能揭露出事物的本质特征和规律性联系。逻辑思维如果缺乏严密性，解题过程就可能会出现漏洞，导致出错。因此，教师要根据学生实际情况，在教学中，适时合理地“设错-纠错”，培养学生严密的逻辑思维能力。由于学生的知识体系还没有完全建立，当他们遇到有些问题时，对问题考虑不全面，往往丢三落四，遗漏答案。针对这种现象，教师有必要在这节骨眼上“设错”，通过教师的引导和分析，带领学生纠正“错误”，从而加深学生对这种知识的印象，杜絕学生讨论问题不彻底的现象。

比如，我们在学习直线与圆的位置关系时，经常要涉及求直线的方程，很多学生选择“点斜式”来描述直线方程，可是经常忘掉了斜率不存在的情况，导致遗漏了一种情况。面对这种现象，如果教师能举出两个例题，一个不包含斜率不存在的情况，另一个是包含斜率不存在的情况。教师先详细地讲解第一个例题，在第二个例题的解题过程中，由于学生讨论问题不彻底导致遗漏答案，通过探究“纠错”的过程，有意识地培养学生思维。

例：已知过点M（-3，-3）的直线L被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4■，求直线L的方程。这是教材上的一道例题，这题思路是这样的：只要直接把直线L设为点斜式：y+3=k（x+3），然后由已知可求出圆的坐标（0，-2），接下来可以顺利求出圆心到直线的距离■，最后由点到直线的距离公式可以求出斜率k值有两个，于是求出两条直线L符合条件。

教师在讲解完后，把这道题进行变式：已知过点M（-3，-3）的直线L被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8，求直线L的方程。

教师请学生仿照例题的思路解答变式题，学生在解答后发现求出的直线只有一条。这时，教师把学生的解答过程板书在黑板上，及时引导学生寻找“错误”的原因：我们通过画图分析得出符合条件的直线肯定有两条，为什么同学们求出来的直线只有一条呢？原因是点斜式不能描述直线斜率不存在的情况，所以我们要再分析斜率不存在时的直线是否符合条件。经过验证符合条件的直线中包含斜率不存在的情况，所以符合条件的直线有两条。教师在这时设置“陷阱”，让学生掉进“错误陷阱”，再通过“纠错”，使学生的认识水平真正得到提高。

教师在教学中，在学生易错的环节，故意采取“设置错误”的方法，吸引学生的注意力，这种方法让学生在迂回曲折中走出困境，从而产生豁然开朗的顿悟。教学的过程是师生一道求“真”、共同活动的过程。因此，教学过程中不能为了追求这种教学模式，而故弄玄虚，“设错”应讲究方法、场合。“设错”难度要适当，“设错”要掌握一定的分寸，它既要符合新课标的要求，又不能脱离学生的实际水平，既要比学生原有的知识水平高一些，又要让学生经过努力之后力所能及；“设错”要能“似是而非”，教师挑选有迷惑性的例题、习题，教师在讲解、分析的过程中，通过设错置疑，让学生难以分辨真伪，它看似正确，实际错误，具有一定的迷惑性；“设错-纠错”的时机要恰当；“纠错”的方式不能一成不变，不同的“设错”要看其难度，以及提出问题的时间、方式，要视其情况采取灵活多变的“纠错”方式，这样才能让不同层次的学生的素质都得到不同程度的提高；教师在教学中的“设错”要面向全体学生，要尽可能给不同层次的学生创设分层次的最佳“纠错”氛围，同时对每位学生的“纠错”都要给予适度的评价，只有这样才能发挥“设错”的功能，达到“设错”的目的。

总之，教师在教学中，适时合理地“设错”，再“纠错”，让学生在充分暴露错误的过程中，帮助学生突破学习上的难点，获得认知错误的心理体验，加深对错误的认识，从而达到弄清本质、预防错误的目的，通过“设错-纠错”能更好地集中学生的注意力，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解教材、掌握知识，提高思维的严谨性，提高课堂教学效率。

参考文献：

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[2]钟善基.中国著名特级教师教学思想录·中学数学卷[M].江苏教育出版社，1996.

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[4]杨汉昌.对数学教学中的“设错”的几点认识[J].中学数学教学参考，2001（8）.

（作者单位 福建省福安二中）

？誗编辑 刘莉琴