2014年全国高中数学联赛几何证明题的一题多解

裴黎黎 郑玉霞 李文铭

摘 要：基于2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷中一道几何证明题得分率低的情况，笔者研究这道试题，发现题目难度并不大，关键在于辅助线的作法与部分简单几何性质的应用. 本文通过巧妙改变辅助线的作法，给出了八种简单证明方法，对教师竞赛培训和学生学习有一定的帮助.

关键词：高中数学联赛；几何证明；辅助线作法；一题多解

试题来源

陕西省数学竞赛委员会命制的2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷解答题第三题，题目如下：

如图1，圆O1与圆O2相交于P，Q两点，且圆O2经过圆心O1. A是圆O1的优弧上任一点，AP，AQ的延长线与圆O2分别交于点B，C，求证：O1为△ABC的垂心.

图1

证法呈现

证法1：如图2，连结PQ，O1O2，O1P，O1Q，O1B，则PQ⊥O1O2，因为∠BAC=∠PO1Q=∠PO1O2，∠ABO1=∠PQO1=∠QPO1. 所以∠BAC+∠ABO1=∠PO1O1+∠QPO1=90°，则BO1⊥AC，同理CO1⊥AB. 故O1为△ABC的垂心.

以上是参考答案给出的证明方法，下面我们给出几种其他证明方法：

证法2：如图3，连结O1O2并延长交⊙O2于点R，连结BR，PO1，BO1，在⊙O2中，因为B，P，O1，R四点共圆，所以∠PBR+∠PO1O2=180°. 在⊙O1中，因为∠BAC=∠PO1Q=∠PO1O2，

所以∠PBR+∠BAC=180°，则有BR∥AC. 又因为O1R为⊙O2的直径，所以BO1⊥BR，从而有BO1⊥AC，同理CO1⊥AB. 故O1为△ABC的垂心.？摇

证法3：如图4，连结O1O2并延长交⊙O2于点R，连结QR，PO1，BO1，QO1，在⊙O2中，因为PO1=QO1，所以∠PBO1=∠QRO1. 因为O1R为⊙O2的直径，所以∠O1QR=90°. 在⊙O1中，因为PQ⊥O1O2，PO1=QO1，所以∠BAC=∠PO1Q=∠QO1R，则∠BAC+∠PBO1=∠QO1R+∠QRO1=90°，即BO1⊥AC，同理CO1⊥AB. 故O1为△ABC的垂心.

图4

证法4：如图5，连结AO1，QO1，PQ，在⊙O2中，因为B，P，Q，C四点共圆，所以∠APQ=∠BCA. 在⊙O1中，有∠O1AQ=∠O1QA. 又因为∠AO1Q=2∠APQ，则有2∠BCA+2∠O1AQ=2∠APQ+∠O1AQ+∠O1QA=180°，从而得到∠BCA+∠O1AQ=90°，即AO1⊥BC，同理CO1⊥AB. 故O1为△ABC的垂心.

图5

证法5：如图6，连结PO1并延长交⊙O1于点D，连结AD，PQ，CO1，在⊙O2中，有∠O1PQ=∠O1CQ，在⊙O1中，有∠O1PQ=∠DAQ，所以∠O1CQ=∠DAQ，从而有AD∥CO1. 又因为PD为⊙O1的直径，所以AD⊥AB，所以CO1⊥AB，同理BO1⊥AC. 故O1为△ABC的垂心.

图6

证法6：如图7，连结AO1并延长交⊙O1于点D，连结PD，PQ，在⊙O2中，因为B，P，Q，C四点共圆，所以∠PQA=∠ABC. 在⊙O1中，有∠PQA=∠PDA，所以∠ABC=∠PDA. 又因为AD为⊙O1的直径，所以∠PDA+∠PAO1=90°，则有∠ABC+∠PAO1=90°，即AO1⊥BC，同理CO1⊥AB. 故O1为△ABC的垂心.

证法7：如图8，连结QO2并延长交⊙O2于点R，连结PR，O1R，PO1，BO1，QO1，在⊙O1中，有∠PAQ=∠PO1Q，在⊙O2中，因为QO1=PO1，所以∠QRO1=∠PRO1=∠PBO1=∠PRQ. 又因为P，O1，Q，R四点共圆，？摇所以∠PO1Q+∠PRQ=180°，？摇？摇则∠PAQ+∠PBO1=90°，即BO1⊥AC，同理CO1⊥AB. 故O1为△ABC的垂心.

图8

证法8：如图9，连结PO1，QO1，CO1，O1O2，QO2，则PQ⊥O1O2，在⊙O1中，有∠PO1Q=2∠PAQ=2∠O2O1Q. 在⊙O2中，有∠O1O2Q=2∠O1CQ，因为O1O2=QO2，所以∠O2O1Q=∠O2QO1，又∠O1O2Q+∠O2O1Q+∠O2QO1=180°，所以∠PAQ+∠O1CQ=∠O2O1Q+∠O1O2Q=90°，即CO1⊥AB，同理BO1⊥AC. 故O1为△ABC的垂心.

图9

结语

数学解题研究，有助于缩短青年教师成长周期. 笔者对一道高中数学联赛题进行了多种证明，也是变式教学的形式之一，即做到一题多解，旨在交流学习，共同提高.