挖掘教材“核心思想”，提高教学的有效性

杨昆华

摘 要：本文从案例出发，应用现代教育技术， 结合“信息技术与高中数学教材整合”，挖掘教材的核心内容及核心思想，引导学生探究知识，获取知识，培养观察、归纳、猜想能力，渗透数学思想方法，构建高效的课堂教学.

关键词：核心内容；探究性教学；有效性

新课标强调，要为学生提供开阔的探索空间. 将“二分法”这一求方程近似解的具体数学方法，放在“函数”这一大背景中来，引导学生认识其作用、操作方法与局限性，在教学过程中，学生多层次体验数学知识的形成过程，多角度审视函数知识的地位与作用.

教材分析

二分法是高中新课程的新增内容.这节内容安排在函数、函数的性质、函数的零点之后，在内容上衔接了函数零点与方程的根的关系，体现了函数的思想以及函数与方程的联系. 求函数零点近似解的计算方法很多，二分法是其中一种常用方法，它的特点是操作简单，具有通性，蕴涵了数值逼近的思想、算法思想以及数形结合的思想方法，并为数学3中算法内容的学习做了铺垫.

学情分析

学生已学习过的函数包括：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数，同时已掌握求函数零点准确值的一些方法，对函数与方程的关系有了一定认识. 用二分法求函数零点近似解是利用函数图象的连续性，不断逼近函数零点，从而求得对应方程近似解的一种计算方法，因此，通过学习二分法可进一步培养学生有意识地运用函数图象、性质分析解决问题的能力.

由此得出本节的教学目标为：

（1）了解二分法是求函数零点近似解的一种方法，掌握用二分法求函数零点的一般步骤.

（2）通过师生、生生合作交流，共同探索、概括结论和规律的过程，使学生体会由特殊到一般的认知规律，体验无限逼近的过程.

通过上一节的学习，学生对方程的根的存在性有一定的了解.主要的困难有两个：

①对二分法这种算法思想的理解；②对用二分法求方程近似解的一般步骤的归纳.

所以本节的重点定位为：对二分法基本思想的理解，学习用二分法求函数零点近似解的一般步骤；难点：零点所在区间的确定，对二分法算法思想的理解.

教学设计及教学过程分析

（一）关于情境设置

案例一

问题1：从猜价格引入CCTV2“幸运52”片段：

主持人李咏说道：猜一猜这架家用型数码相机的价格. 参赛选手：2000！李咏：高了！选手：1000！李咏：低了！选手：1500！李咏：还是低了！……

问题1：你知道这件商品的价格在什么范围内吗？

问题2：若接下来让你猜的话，你会猜多少价格比较合理呢？

问题2：从A地到B地的电缆有5个接点.现在某处发生故障，需及时修理.假设故障出在接点之间的线路上，接点处是完好的. 一定要把故障缩小在两个接点之间，至少需要检查多少次？

图1

每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，也叫对分法，常用于查找电线、水管、气管等管道线路故障.

提出问题：如何求方程lnx+2x-6=0的根？能否利用函数的有关知识来求它的根呢？

函数f（x）=lnx+2x-6的零点转化为方程lnx+2x-6=0的根.

设计问题1：你能找出零点落在下列哪个区间吗？

A. （1，2） B. （2，3）

C. （3，4） D. （4，5）

追问：如何找到这个零点？你能继续缩小零点所在的区间吗？引导取区间的中点，由此引入课题.

点评：此案例的优点是目标直指二分法的操作，从学生熟悉的游戏出发，学生参与度高，兴趣浓，课堂气氛活跃，但不足之处是淡化二分法的数学思想实质，容易导致课堂热热闹闹，课后思想一片空白.

案例二

1. 从实际问题的解决引入

现有一边长为10米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各裁去一个相同的小正方形，然后焊接成一个长方体型的无盖容器，为使容积为68立方米，裁去的小正方形边长应为多少米？（精确到0.1）

图2

2. 学生经过思考，讨论后交流解决方法. 从三次方程的求根问题引出数学发展史中探求高次方程的根的研究，介绍解方程的数学史：秦九韶的数学贡献；1545年意大利的卡尔达诺在论著《大法》中给出的一元三次方程的求根公式；十九世纪，阿贝尔和伽罗瓦的研究表明高于4次的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解，感受数学研究的价值及思想方法.

3. 学生讨论对各种方法的认识和体会通过解决社会实践中的问题，明白求方程近似根的必要性，从而引出课题.

从复习数学知识和原理入手：

1. 求方程f（x）=0的解，可转化为求函数y=f（x）的零点，即为求函数y=f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.

2. 零点存在的判定法则

如果函数y=f（x）在一个区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使 f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

归纳：像这种每次取区间中的点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.给出用二分法求函数零点近似解的步骤.

点评：此案例的优点是从实际问题出发，在解决问题中渗透数学史教育，让学生感受数学的思想方法及价值，体会求方程近似解的必要性，激发学生探寻解决问题的办法，从而导入二分法，探究过程围绕数学思想核心，数学味浓，不足之处是引入二分法有些突然，解决实际问题耗费大量时间，课堂的互动略显沉闷，教学有效性不易落实.

案例三

1. 复习思考：

（1）函数的零点；（2）零点存在的判定；（3）零点个数的求法.

2. 思考问题：

请同学们观察下面的两个方程，说一说你会用什么方法来求解方程：

（1）x2-2x-6=0；

（2）lnx+2x-6=0.

对于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解，？摇但对于方程（2），我们却没有公式可用来求解.？摇？摇？摇？摇

复习引入：函数f（x）=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，如何找出这个零点？

提出生活中的问题：12枚金币中有一枚略轻，是假币，如何找出？

（探究二分法的概念：一分为二）

（1）用天平称3次就可以找出这个稍重的球.

（2）要找出稍重的球，尽量将稍重的球所在的范围尽量的缩小，我们通过不断地“平分球”、“锁定”、“淘汰”的方法逐步缩小稍重的球所在的范围，直到满意为止.

（3）这种“平分球”的方法，就是“二分法”的体现.

游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这部手机的价格.

进而提出：利用我们猜价格的方法，你能否求解方程lnx+2x-6=0？如果能求解的话，怎么去解？从而引出课题.

点评：此案例的优点是从求方程的解受阻设置悬念，找到知识的生长点，由找假币、猜价格游戏引出二分法，既反映了数学的思想实质，又注重了方法寻找的类比、探究过程，重视数学的思想方法在探究过程中的渗透，强化教材知识间的前后联系，教学实施井然有序，如果加入数学史的介绍，效果会更佳.

（二）关于二分法求方程的近似解

（1）对于函数f（x）=lnx+2x-6，首先用图象确定零点的初始区间（2，3）

用计算器或计算机作出x和f（x）的对应值表，用EXCEL软件演示，用几何画板动态演示.

（2）每种方法都用到了哪些数学知识，怎样想到用这些知识？

利用几何画板、图形计算器画图功能的方法，依赖的技术含量多于数学思想.

利用计算机软件Exsel、图形计算器、计算器的列表计算功能的方法，利用了函数零点存在性的知识，运算次数较多.

计算器的加减乘除功能的二分法利用了函数与方程的转化思想，二分过程中随着一次次的取中点，计算中点函数值，判断符号，取新区间……使零点所在的区间一步步缩小，区间的两个端点一步步向函数的零点逼近.

对比分析指出

①合理利用信息技术提高工作效率，实质上是计算机软件在进行大量函数值计算，进而描点画图；结果近似值的精确度取决于软件的精确度，在解决实际问题中受到软件的精确度的限制.

②列表计算功能的使用使得计算有了一定的方向性和规律性，只计算精确度要求的值即可.

③二分法的计算次数设计合理，当提高精确度要求时，只要继续算下去就一定能达到，可以无限次进行端点向零点的逼近，数学思想简单，逻辑性很强.

（三）二分法求方程的近似解的条件

如果函数y=f（x）的图象如图4所示，能否用二分法求出它的所有零点的近似解？

图4

（注：二分法对不变号零点不适用，从辩证的角度看待一种方法）

本节体现的数学思想方法：

（1）数形结合的思想；

（2）函数与方程的思想；

（3）逐步逼近的思想；

（4）算法的思想.

二分法的教学，数学思想方法的渗透是关键，“函数的零点”是核心概念，围绕这一核心内容及数学思想开展教学，课堂的有效性才能得到落实.