基于数学语言，管窥高中生数学学习困难原因

何竹峰

摘 要：高中数学与义务教育阶段数学最大的区别，就在于学生要在更短的时间内习得更多的数学内容，这种挑战首先是数学语言上的. 从集合到函数，从立体几何到解析几何，从统计到概率，一个简单的数学概念背后包含着相当丰富的数学理解，缺乏了数学语言，这种理解是难以发生的.

关键词：数学语言；学习困难；原因

对于相当一部分学生而言，高中数学学习都是不小的困难. 究其原因，教师的视角往往锁定在学生对数学知识的建构与理解上，尤其喜欢从学生解题的角度去分析学生哪个数学知识点掌握不到位，哪种数学能力没有形成等. 对于一部分学生而言，这样的分析是有效的，但对于更多的学生而言，这样的分析往往是片面甚至是无效的，教学实践中教师百般努力而学困生顽强存在的现象，或是这一判断的最好证明. 那问题究竟出现在哪里呢？

笔者以为，数学同行们可能忽略了一个更为根本的问题，那就是学生的数学语言能力薄弱的问题.

这里所说的数学语言，是指表达数学思想与思维的语言. 作为数学学科特点明显的语言，其与学生所熟悉的生活语言是不一样的. 这里不妨先用一点篇幅来理解一下二者的区别与联系：学生在生活中往往能够顺利地与他人交流，一个重要的原因就是别人说的他能听得懂，这种平常不过的互动背后却隐藏着一个重要的认识，那就是对话双方的语言是共通的. 而在数学学习的过程中，学生很多时候可能就听不懂数学语言了.这意味着什么？意味着学生在数学课堂上无法有效输入教师输出的数学信息，这也意味着学生在数学学习的第一道关口上就出了问题，数学又怎么可能学得好呢？形成这一认识之后，笔者觉得首先就必须梳理一下当前高中数学教学中数学语言的一些基本问题，以弄清高中生数学学习困难的一个重要原因.

高中数学教学中数学语言的教学现状

客观地说，数学语言几乎从来没有成为高中数学教学的主要内容，这是有着客观的原因的. 众所周知，高中数学与初中数学的一个明显不同点是，其内容繁杂且十分抽象，而高中学习时间又是相对较短的（高中阶段的内容实际上都在高一高二两个学段完成）. 这两个因素综合作用的结果就是数学语言难以纳入教师的视野. 在这样的教学范式中，教师关注的是教学任务（主要是数学知识传授）的完成，学生关注的是自己解题能力的形成. 又由于常用的重复训练甚至是题海战术，确实能够让绝大多数学生一定程度上“读懂”数学语言（实际上是重复训练后的某种意识），如学生在遇到集合、函数、数列等概念时，往往也能大概地理解其含义，并根据平常训练的思维来完成一些问题的解决.

教师的忽视与学生的无意识，使得数学语言的教学在高中数学课堂上难觅踪影. 事实上，这一现象早就引起了有识之士的注意，有人结合十多年前的一则高考题做过分析，该题是这样的：

如图1所示，为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出. （1）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧锟？一对轧辊的减薄率=（输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度）/输入该对的带钢厚度.

图1

（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧锟，所有轧辊周长均为1600 mm. 若第k对轧锟有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk. 为了便于检修，请计算L1，L2，L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

高考后的统计结果表明，本题当年全国高考得分率（理科）不到15%，而有心的教师在后来的教学中，将本题进行了语言转换（如转换为“若a（1-b）k≤c，a，b，c均为正实数，求自然数k的取值范围”等），学生的答对率则高达99%. 这一结果雄辩地表明学生是在数学语言（将生活语言或者说自然语言转换成数学语言，并进行数学建模）上出了问题.而令人遗憾的是，十几年后的今天，这一现状仍然没有得到根本的改变，相当一部分学生在高考数学中失分就失在数学语言的理解与运用上.

这里还可以说得更明确一些，就是因为学生在读本题时，无法将题目中的信息转换为自身非常熟悉的数学模型，题意的背景是生活化的，题目的意思需要结合文字描述去理解，在理解题意的基础上去进行数学建模……都是数学语言范畴的问题，都能考查学生将生活语言转换成数学语言的能力. 当然，这里所说的解题过程中数学语言存在的问题，而在新课教学中也同样存在类似的问题，需要引起我们高度的注意.

学生学习中数学语言能力缺失的发现

高中学生数学学习困难是一个大问题，而引发这一问题的原因是多样的，这意味着不同的原因都会导致同样的结果（数学学习成绩差），这就涉及如何有效地判断学生的哪些学习困难是由于数学语言引起的，教师又应当怎样才能寻找到这些现象背后的原因等问题.笔者经过学习与梳理，提出如下几点供同行参考：

第一，通过比较去发现.俗话说“不怕不识货，就怕货比货”. 通过比较的方法可以让数学语言这一因素“原形毕露”. 比如在上面例子中，研究者就是通过比较的方法发现学生的问题出在数学语言上的，其思路用语言来描述，就是：教师自己将学生不理解的（新知学习过程中）或做错的（数学练习或测试中）转换成数学模型，如果学生能够做出来，就说明学生在数学语言上出了问题，其未能准确地将生活语言转换成数学语言，因而没有成功地构建出数学模型.

第二，通过询问去发现. 第一点所说的比较的方法适用于针对学生群体的调查，而这里所说的询问往往针对学生个体. 无论是在新知学习中，还是在数学问题的解决中，总会存在一些“典型学生”，这些典型学生身上出现的问题往往就是典型问题，因此发现这些问题并进行个体询问，往往也可以找到问题的症结. 笔者在教学中特别注意对这类学生的“物色”，确定了这几个学生之后，往往可以通过他们的反应来判断数学语言的教学情况. 举一个最简单的例子，在定义域与值域概念的教学中，就类似于（6，15]这样的表达方式，笔者选了课堂上两个走神的学生进行询问，其中一个学生就一头雾水，因为他看不明白为什么一边是小括号，一边是中括号；而另一个学生则小心翼翼地说两个不同的符号可能代表不同的含义. 这两位学生上课时都走神了，因而他们都无法准确地回答，但由于对数学理解不同，因而前者一头雾水，而后者则能进行正确方向的猜想. 这里所说的数学理解，其实就是学生在面对数学符号（数学上的符号语言）时表现出来的能力不同，因而也就说明数学教学中是要注重数学语言能力的培养的.

第三，通过研究去发现. 这里所说的研究，是指研究生活语言与数学语言. 很多时候学生能够听懂生活语言，却读不懂数学语言，因此这里就存在一个“翻译”的问题，如果教师去研究生活语言与数学语言的关系，并且寻找到两者之间的距离，往往能够提前发现学生可能在数学学习中会遇到的数学语言方面的障碍. 如有教师在教“集合”概念时，其就敏锐地意识到生活中所说的集合，与数学中所说的集合是两个不同的概念，因此他就去研究同一词语背后的概念差异，从而判断出学生有可能用生活中的集合去理解数学中的集合，而这既是好事又是坏事，好在学生有一个概念基础，坏在生活中的集合不能完全代替数学集合，于是又进一步去思考学生可能会有什么样的理解，并且分别应当采用什么样的教学方法进行矫正等. 这一发现基于研究且走在学生的学习之前，因而非常值得高中数学教学同行学习.

数学语言缺失对数学学习的影响浅析

认识到数学语言的重要性，研究了数学语言缺失的表现，再回过头来看数学语言对数学学习的影响，就会有更为深刻的理解.

数学教师总习惯性地将数学理解为符号、逻辑的集合，而忽略了作为数学的学习，其首先是基于语言的. 身在数学学习庐山之内的教师，常常忽视了学生却在庐山之外，这就导致了数学教师有可能不识数学教学的真面目，即忘记了数学教学首先基于语言的交流， 而学生则更因此难以窥得高中数学的奥秘. 文首已经说过，高中数学与义务教育阶段数学最大的区别，就在于学生要在更短的时间内习得更多的数学内容，这种挑战首先是数学语言上的. 从集合到函数，从立体几何到解析几何，从统计到概率，一个简单的数学概念背后包含着相当丰富的数学理解，缺乏了数学语言，这种理解是难以发生的. 因此从这个角度讲，数学语言的缺失会直接导致学生的学习如同无源之水，无本之木.

当然，根据高中数学课程专家的研究，数学语言的内涵与外延远非笔者拙作所能概括，笔者本意只是通过只言片语以唤起大家对数学语言及其教学的重视，以推进高中数学有效教学更稳健地前进.