论数学教学活动环节的节点

韩云桥

【摘要】 教学活动方式的特点是制造一种激活知识的环境，使学生在有教师指导下的认识的外部活动得到充分展开，这种外部活动一般是用语言、符号操作、心理表象、观念情感表现出来，是从学生感知、领会、体验、认清教师的要求所反映的. 教学活动方式更深层次的特点就是由外部活动的内化形成内部活动，由感性认识转化为理性认识，帮助学生简化认识过程，使学生的思维得以拓展和流畅，从而简约化地获得知识和形成能力，产生丰富的思维“再生力”. 在这个过程中，需要教师抓住活动的节点，促进学生活动的效率.

【关键词】 引入；讲授；评价；概述

人类的很多活动方式都具有规则下的独特性，特别是带有创造性的活动，很难把其中包含着的大量只可意会的内容用逻辑的规则加以提炼、表达. 但数学教学活动方式是一种有目的、有组织、有依据、特殊的认识活动形式，是在有心理和知识准备的情况下展开的，因此对教学的预设和重要程序的把握是能够明确的. 无论教学活动的形式如何，都必须保证学生获得新的认识，这种认识过程实际上是学生在自己的头脑里主动构建认知结构的过程. 教师重在组织和引导，帮助学生疏通思想障碍，澄清模糊认识，指导学习方法，从发现和探索中构建经验系统. 在数学教学活动中，学生有意识的活动，通常是在教师的领导作用和教材客体作用下开始的. 由于数学教学是教师教学生认识理解知识并获得数学知识的智能意义，所以在教学认识中，教师的领导作用远大于教材这个客体作用. 这是因为教材只是呈现了人类留下的知识结论，而静态的知识结论只是具有信息意义，教材的表述无法言明知识的智力价值. 学生的活动在没有教师设计的问题情境时，必然处于一定的定式或无意义的环境中，要使学生的活动朝着一定的目标活动起来，只有靠教师在教学活动中引导才能激发有意义的活动.

人的思维一般在特殊的环境中都会发生迁移，教学活动是一个特殊的环境，是学生在教师的指导下学习人类积累的科学知识，在这个过程中，教师不仅仅是传授知识，更重要的是教会学生思考，主动掌握知识和技能. 因此教学活动是教会学生学会思维的活动，教会学生思维方法的过程. 如果在活动中能充分调动学生的思维，培养学生善于观察、分析，积极动员和组织的思维品质，那么活动的效率就有了物质基础. 数学教学活动中进行原型启发和思维动员一般要抓好以下四个环节的活动节点：

一、教学活动引入环节的节点

教学活动的引入一般是提供有意义的结构化材料来创设教学情境. 这里的结构化材料包含两个方面：一方面是教材上明确规定的或教师根据教学内容加工组装的材料，另一方面是学生记忆中已有的经验材料. 这两方面的材料是学生思维的一个节点，与教学效果有显著的联系，这是教师必须充分关注的. 这就需要教师充分掌握好学生现有的知识和能力水平，营造认知冲突，引发内在动机. 教师在交代结构化材料时，既不要脱离学生的实际，提高学习的台阶，也不要事必躬亲，让学生没有思考的余地. 特别是后一种情况在教学中经常出现，不少教师怕学生的兴趣调动不起来，将学习的材料解释得太透彻，这样做好像是在让学生学得轻松，其实不利于学生积极的、正常的思维. 大量事实证明，每个人都有一定的认知结构，这个结构就是学生的经验系统，而已形成的经验系统在相似条件下具有自发性和复制性，在内容上具有具体性和丰富性. 正因为如此，教师在说明结构化材料时要留给学生思维的空间，在这个节点上，思维是最能“发光”的. 教学活动中，目标的确定就是要发现新学内容与原有知识间的“潜在距离”，这是能有力推动活动开展，激发学生思维有意义活动的生命线. 教学活动的引入，一般来讲都是由旧知过渡来启发联想. 根据学习心理学理论，学生现有水平表现为直接再现能力，通过当前事物唤起旧经验，充分让学生产生直接再现经验是这个环节的显著节点. 结构化材料的呈现要适应学生的认识水平，要有启发和动员思维的功能. 学习过程是改造旧经验的过程，成功的教学引入，应当是在知识的间接反映上做有用功，即内容引入不仅要了解学生现有水平，更要了解学生的潜在（发展）水平.

二、有意义讲授环节的节点

任何教学活动方式都离不开教师的参与与指导，所谓教师的参与与指导，不是说教师只是一个活动的组织者和引导者，还有一个重要功能就是对重点、难点、关键以及学生共同面对的困难要进行讲授. 讲授不是“填鸭式”或“满堂灌”，而是有选择性的指导. 一般来说，需要教师讲授的，都是学生所需要的，因此讲授是有意义的，学生带着目的听讲也是有意义的. 根据学习的心理机制，有意义讲授（所谓有意义，是教材中隐含的观念信息同学生已有认知结构中的观念发生相关作用时产生的潜在距离的推动）有利于学生知识的内化，这是讲授环节中一个显著的关键节点.

有意义讲授产生的两个条件，一个是教师能否将有潜在意义的学习材料同学生已有的认知结构联系起来，另一个是学生能否采取和保持相应的学习心向来进行学习. 如果两者统一和谐，这便是有意义的讲授. “要有选择性地提取学生认知结构中最有联系的原有知识作为整合新材料的‘类属观念，从而增加新材料对学生的熟悉性和意义性.”讲授只有同学生的主动思维协调一致，才会获得较高的效率. 同时教师的过程介入和课堂训练的作业处理，是讲授环节中另一个显著节点. 教师要利用即时提问和分布设问，帮助学生降低难度和分解难点，及时疏通与评点，有利于提高学生理解材料的能力.

数学问题讲授，是有意义讲授的核心. 这里的所谓问题一般指教师设计的问题，也可以是教学活动过程中发现的问题. 任何一个问题对象，要想揭示它深藏的因素，没有突破空间条件的间接思维进行比较、分析是不行的. 面对数学问题要想有效地提取经验，就必须利用思维的中介联想，而且要提供思维直接联想的机会. 这是问题讲授中的一个特别的节点. 解决数学问题的思维集中表现在解答问题的过程中. 首先是依赖感性的认识阶段，这一阶段主要是促进思维的运动，而不仅仅是知识的积累. 学生凭材料的感知，迅速与已有经验知识建立联系，整体思考问题解决的策略. 有一部分学生可能在感知阶段时思维受阻，发现不了原型启发的材料，唤醒不了已有的知识和经验，那么教师的讲授就成了救活学生思维的稻草. 教师的讲授不是全部揭露问题的内部关系，而只是提供给学生思维上的指导，形成解决问题的动作，真正解决问题还得靠学生自己的努力. 这是问题讲授中的另一个显著节点. 当学生有了具体感性的启发，并有了初步的方案，接下来就是理性搜索阶段. 这一阶段依靠外部条件与内部条件的交互作用，也就是外部动作活动与内部心理活动相互作用，实现知识和能力的广泛迁移. 这一阶段体现了思维的独立性和创造性.

活动中的讲授环节是整个活动中的核心和节点. 这是因为讲授是在学生认识活动完成之后，这种讲授是一种整理、疏通、克疑和填补. 学生也是带着目的在听讲，所以对学生及时理解学习内容，准确内化为自己的经验，并形成相应的思维能力发挥着远高于其他认识方式效果的重要作用.

三、反馈与评价环节的节点

反馈和评价作为一种检验的手段存在于任何认识活动的形式之中，人类的各种实践活动，包括创造性实践活动都离不开在一定标准下的检验. 人的认识是对客观世界的反映，反映是否正确，与客观现实是否相符、一致，只有通过检验才能加以判断. 教学认识活动是人类认识活动的特殊形式，而且学生的认识将伴随着他们的一生，因此教学中的检验对于学生连续不断的能力发展显得更加重要. 教学活动中的检验包括两个方面：一方面是对活动方式的检验. 通过这类活动，把教学效果与预期目标进行对照，获得学生掌握学习内容的各种反馈信息，为决定教学策略确定正确的方向，为设计和控制下一步的教学认识过程奠定心理准备. 另一方面是学生学习成效的检验，即通过某个活动，学生究竟掌握了哪些知识和技能，获得了哪些新的能力，学习品质发生了哪些变化等. 对学生的成效检验，一般是通过教师的观察、提问、质疑、活动中的练习等进行评估.

信息矫正是反馈与评价的主要目的. 对教学活动方式而言，有教学过程评价和学生掌握评价. 过程评价在于是否达到预期目标. 一般来说，任何教学活动都有一个“预设与生成”的估价，过程评价就是对这个“估价”的检验. 学生掌握评价在于学生是否获得需要的认识. 通过对预想的结果与实际结果进行比较，肯定活动形式积极的一面，找出活动形式消极的一面与不足，并在活动过程中加以修正和改造. 对于学生学习成效而言，有学习过程评价和学习方式掌握评价. 学习过程评价在于观察学习兴趣与学习行为是否与教学活动一致；学习掌握评价在于是否掌握了知识，并通过掌握知识来反映是否掌握了对知识认识的方式，并把这一评价结果及时地以恰当的方式告诉给学生，让学生充分了解自己对学习所做的反应. 心理学研究表明，把评价的结果及时告诉学生，学生的进步就很快，而当学生不知道自己的学习结果时，学习就会缺乏强化，进步就不大. 教师依据教学活动评价的结果，可以有针对性地强化和调整教学活动的结构，如肯定的强化，否定的调整、改进. 这是教学活动方式检验的调节与强化功能. 学生根据教学评价的结果，可以有准备和有目的地强化或改进学习行为，巩固或调整学习方式，确保提高学习效率. 这就是学习活动方式检验的调节与强化功能.

四、小结与概述环节的节点

这个环节是引导学生将已学的知识系统化和结构化，使新的认识迅速地纳入到学生已有的认知结构之中，牢固形成学生自己的知识经验，并体现为一定的能力.

1. 知识归类

概述知识的应用意义和智能意义，使其简约化，便于理解和记忆，构成新的认知结构. 教学的根本任务之一就是使学生获得知识结构化的认识，这就是概念、原理、法则等基本规律性的知识. 掌握科学的基本结构有利于领会知识的整体，有助于实现广泛的迁移. 知识的归类整理是这个过程中一个重要的节点，要在教师的指引下由学生自己陈述，训练学生善于进行思维整理的品质. 知识的归类整理是一个非常重要的过程，常常因为通过这一个过程的检验，发现学生获得了一些假经验. 比如学习用二次方程的判别式讨论方程的根，把方程和根迁移到讨论直线与抛物线的交点时，学生极容易把判别式的应用当成一个经验. 把不真的认识看成经验，这个经验不仅是假经验问题，更重要的是学习认识方式的问题. 如果不及时小结，学生将会延续这种学习方式，产生不可弥补的错误，将严重影响学生自身的发展.

2. 方法总结

让学生了解并懂得方法的应用. 方法是一个比知识包容性更大的认识，需要教师进行程序的提示，帮助学生总结. 在方法总结中，包括知识应用方法的认识，即原有知识应用方法的检验、新的知识应用方法的掌握，也包括数学基本方法运用的反思与提炼. 在概念等新知识的学习中，大多是前一种认识的总结. 在问题解决的学习中，后一种总结显得特别重要. 方法总结的根本任务是澄清“虚学”和“假学”现象，确保学生的认识合理地成为真实的经验. 方法总结是这个过程的一个显著的节点.

3. 学习成功感的培养

心理学把此称为自我效能感. 自我效能感是指人对自己能够进行某一行为的实际能力的推测和判断. 人在获得了相应的知识和技能后，自我效能感就成了行为的决定因素. 教学活动中，要加强学生思维能力的培养，既需要教师的努力，也需要学生的积极配合. 教师的努力在于：

一是根据数学知识结构（体现在教材中），在重现数学家思维活动的过程中，简化和减缩这种思维活动过程，让学生掌握和体验这种认识活动过程的思维方法.

二是指导、调节、控制学生的思维活动，使之与教师的教学思维活动（也即数学家的思维活动）和教材该体现而又没能体现的思维过程同步，并逐步实现学生的思维结构向数学家的思维结构转化.

三是帮助学生发现及总结开展数学思维活动的规律、方法，使学生获得数学思维能力的有效迁移. 数学家希尔伯特常常在教学活动中即兴提出一些有意义的数学问题，虽然他并非每次都能得到圆满的解答，但他展现了数学思维的过程，帮助学生理解和认识了思维的法则，特别是数学家创造性活动的思维过程，使学生受益匪浅. 希尔伯特反对填鸭式的讲解，重视问题的提法，把主要精力集中在分析问题和解决重要问题上面，对于枝节的问题由学生演算、推证和补充. 他特别善于诱导学生去发现问题、解决问题，十分强调启发式教学. 我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中，也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学，并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题，在思维的动作上，提出来了“退，足够退”的发现求知过程，使许多学生（包括中学）在这一思维观的影响下获得重大发展.

四是要不断激发学生的好奇心、求知欲，这是影响学生思维发展的特别重要的因素.

教学活动中学生的兴趣问题是教学理论和教学实践都关心和强调的问题. 一般认为，教学活动中的兴趣由“教学情境”来调动，其实这仅仅是考虑到了学生学习的外部活动，即学生受环境刺激产生的行为. 真正的学习兴趣应该是调动学生学习的内部活动，即内部思维动机. 内部思维动机依靠学生个体内部感性知识与外部具体环境相互作用，同步协调. 兴趣应建立在学生的近期发展水平上，这样外部活动与内部活动才能协调展开，促进思维的发展. 在教学过程中根据学生的特点和水平，采取适当的启发教学方法，形成学习兴趣，产生动力. 引导学生主动地去探索数学真理，在增长数学兴趣的同时培养学生刻苦钻研数学问题的热情和毅力. 要在引导学生敢于和善于发现问题或提出问题上下功夫，鼓励和支持学生中一切含有创造因素的思想和活动. 在教学过程中，传授知识固然重要，因为这是智力的增长点，没有系统的知识，就形成不了一定的技能，智力也就得不到发展. 但知识传授的只是一种或一类认识，学生在获得知识的体验中不一定懂得获得知识的认识方式，只有掌握了获得知识的认识方式，才能不断积累学习的经验，增强智力活动的效果.

在数学教学活动中，尽管活动形式多样，但一个共同的认识就是，主张提供结构化的学习材料，引导学生感知、分析、联想、发现，培养学生探究问题的意识和精神、独立解决问题和预见未知的能力. 其目的都是为了有效地发展学生的思维. 比如在数学教学活动中，提出学习概念的一种基本活动模式是“感知—定义”模式，其理论依据是学习认识论. 学习认识论认为，人们认识事物要经过一个观察、分析、比较、综合、概括、抽象的过程，这是一个由特殊到一般，不断深化认识的过程. 它的活动实践是概念获得的肯定例证，就是引导学生对这些例证进行观察，再通过分析、联想、综合和概括，让学生经历一次由具体到抽象、由特殊到一般的认识过程，获得形成概念的观念. 又如在问题教学中，提出的“假设—判断—验证”的基本模式，其理论依据是心理学. 心理学认为，人们认识事物要经历一个假设与验证，并不断循环的过程，这是一个多次假设、不断反馈、反复验证的过程. 它的活动实践是问题解决的逻辑例证，就是引导学生对这些例证进行复习、综合、推理、比较、猜测，教师进行肯定、否定的不断指导，发展学生的思维能力.

数学教学活动的开展是一个认识观与策略观紧密结合的过程. 所谓认识观是对教学活动是一个特殊的认识活动的认识，这个认识反映了教学是教师教学生认识的认识. 学生是认识活动的主体，教师在教学活动中既是领导者，又是参与者，在教学活动中教师与学生的关系并没有特殊的优待. 教师的工作就是做好能让学生主动学习的服务. 同时教师作为一个管理者，既要抓好学生的学习行为管理，又要抓好学生的认知管理，促进学生健康发展. 所谓策略观包含两层意思. 一是教师组织教学的策略，核心的观点就是学生学习知识的间接性，正因为这个间接性，所以要激活学生内部的学习动机. 二是学生学习的策略. 学习的策略主要是思维活动的策略. 策略是指头脑中要储存关于如何学习和如何思维的策略性知识，并且在“执行的控制过程”之中运用策略知识去监控自己的学习和思维的信息加工过程（执行过程）. 在学习和思考时，头脑中的注意力要在高层的策略性知识与低层的描述性知识及程序知识之间不断来回转换，不仅要意识到自己的加工材料，而且要意识到自己的加工过程和加工方法（原认识），不断反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程，这表明了思维加工是内部活动的改造过程，显示了解决一个问题，是通过问题的感性材料引起大脑原有的表象（或意象）展开活动，形成内部思维的感性材料. 当内部思维的感性材料与外部的感性材料具有一致性时，表明内部经验图式能够同化外部问题信息. 如果内部感性材料与外部感性材料不一致，就需要重组内部感性材料，以形成新的表象以同化外部问题信息. 也就是说，人的思维能够解决问题，是因为改组内部活动结构以适应新的环境而获得的某种认识. 这与实际中的认识观点是有区别的，实际中常常是对条件信息进行加工、改组，以适应内部活动的需要. 这个观点是不对的，因为对于学生来说，是间接接受知识和经验，通过教学活动来促进学生自主接受，需要呈现一定的学习内容，而内容的呈现是一个客观环境，这个客观环境是不能、也不可能改变的，因此对外部信息进行加工、甚至改造本身就没有意义. 所以学习策略应该是以改造内部活动结构、改变思维表象来体现策略性知识，形成用表象来同化客观形象，并不断强化它们的来回转换，促进学习的新认识.

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