创新能力培育视角下一道经典不定积分题目的多种解法探析

摘"要：本文基于应用型、创新型人才培养理念，对一道经典的不定积分题目∫1ex+1dx进行全方位、多角度的分析，采用发散思维，讨论变形的总体思路和多种解法.本文主要运用凑微分法、有理代换法、割代换法、双曲代换法等方法得到此题目的12种解法，有助于提高学生的逻辑思维、辩证思维、创新思维和应用知识认识问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生追求真理、精益求精、勇攀科学高峰的使命感和责任感，达到了一题多解的良好教学效果.

关键词：创新能力；不定积分；一题多解

中图分类号：O171""文献标识码：A

党的二十大报告中指出，我们要坚持教育优先发展、科技自立自强、人才引领驱动，加快建设教育强国、科技强国、人才强国，坚持为党育人、为国育才，全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.2024年政府工作报告中提到，完善拔尖创新人才发现和培养机制.从报告中可以看出，拔尖创新人才备受关注.

高等数学是理工科院校一门重要的基础学科，也是非数学专业理工科专业学生的必修数学课，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性.作为一名高等数学教师，肩负着培养创新型人才的重任，培养学生的创新意识和创新能力，以达到深化数学核心素养培育、落实创新人才培养机制、推动素养导向的教与学双向互动的目的.解题是高等数学学习过程中的一个重要方式，美国著名数学家和数学教育家波利亚指出，解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，因此解题可以认为是人的最富有特征性的活动.研究题目能否一题多解，如何进行一题多解，需要深入理解分析问题的表征及所涉及知识点并有综合处理分析的能力.因此，一题多解不仅能对已有知识进行充分复习巩固、灵活运用，而且能够在潜移默化中提高学生的发散思维能力、逻辑思维能力和创新思维能力.

本文从一道经典的不定积分题目∫1ex+1dx出发，进行全方位多角度分析，采用发散思维，讨论变形的总体思路和多种解法.应用凑微分法、有理代换法、割代换法、双曲代换法等方法探究出十二种解法.在具体解答实施过程中，以学生为主体，鼓励学生自主探索、小组讨论、查找资料，引导学生勇于提出问题并积极解决问题，充分调动了学生的积极性和学习热情.最终提高学生的思维能力、创新能力、知识应用能力、解决问题的能力以及消化知识的能力，从而突破思维定势，开阔思路，掌握知识的纵横联系，达到举一反三、触类旁通的教学效果.

1"问题的表征

用凑微分法求解不定积分时，先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备，当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪.

基本积分公式中有∫exdx=ex+C，但不定积分∫1ex+1dx不是基本积分公式.

这道题目中会先注意到ex，要善于利用ex，因为其求导后不变，所以容易想到分子分母同时乘以ex，就可以将分子中的ex看作ex求导的结果，进行凑微分，见方法31；又（e-x）′=-e-x，故也可以分子分母同时乘以e-x进而凑微分，见方法3.2；也可以将ex或者ex+1看作整体进行直接换元，见方法3.3；通过分子加减项化简出现ex可以凑微分，见方法3.4；根据1ex+1′=-ex（ex+1）2的特点进行凑微分，但此种方法不容易想到，见方法3.5；利用第二类换元进行三角代换，见方法3.6、方法3.7；也可以利用双曲正弦双曲余弦函数的关系进行换元，见方法3.8.以上方法中具体写法也有所不同，因而本文整理出具体的12种解法，供教师和同学们学习借鉴.

2"考查知识点

2.1"基本积分公式

∫1xdx=ln|x|+C，∫exdx=ex+C.

2.2"第一类换元法（凑微分法）

设函数f（u）具有原函数F（u），则∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C，其中φ（x）可微.

2.3"第二类换元积分法

设函数f（x）在某区间I上连续，又x=φ（t）在t对应的区间上的导数φ′（t）连续，且φ′（t）≠0，则有换元公式：∫f（x）dx=∫f［φ（t）］φ′（t）dtt=φ-1（x），其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函数.

3"综合处理分析

3.1"分子分母同时乘以ex再凑微分

解法一：∫1ex+1dx=∫exex（ex+1）dx=∫1ex（ex+1）dex=∫1ex-1ex+1dex=lnex-ln（ex+1）+C=lnexex+1+C.

解法二：∫1ex+1dx=∫exex（ex+1）dx=∫1ex（ex+1）d（ex+1）.

令t=ex+1，则上式=∫1（t-1）tdt=∫1t-1-1tdt=lnt-1-lnt+C=lnt-1t+C=lnexex+1+C.

3.2"分子分母同时乘以e-x再凑微分

解法三：∫1ex+1dx=∫e-xe-x（ex+1）dx=-∫11+e-xd（e-x+1）=-ln（1+e-x）+C.

3.3"直接换元

解法四：令t=ex+1，则∫1ex+1dx=∫1td（ln（t-1））=∫1t（t-1）dt=∫1t-1-1tdt=lnt-1-lnt+C=lnt-1t+C=lnexex+1+C.

解法五：令t=ex，则∫1ex+1dx=∫1t+1d（lnt）=∫1t（t+1）dt=∫1t-1t+1dt=lnt-lnt+1+C=lntt+1+C=lnexex+1+C.

解法六：令x=lnt，则∫1ex+1dx=∫1elnt+1d（lnt）=∫1t+1d（lnt）=∫1t（t+1）dt=∫1t-1t+1dt

=lnt-lnt+1+C=lntt+1+C=lnexex+1+C.

3.4"分子加项减项再凑微分

解法七：∫1ex+1dx=∫1+ex-exex+1dx=∫1-exex+1dx=∫1dx-∫exex+1dx

=∫1dx-∫1ex+1d（ex+1）=x-ln（ex+1）+C.

3.5"直接凑微分

解法八：∫1ex+1dx=-∫ex+1exd1ex+1=令t=1ex+1-∫1t1t-1dt

=-∫11-tdt=ln1-t+C=ln1-1ex+1+C=lnexex+1+C.

3.6"第二类换元，利用sec2x-1=tan2x

解法九：∫1ex+1dx=∫ex-1e2x-1dx=令ex=sect∫sect-1tan2td（lnsect）

=∫sect-1tan2t1sectsecttantdt=∫sect-1tantdt=∫1sint-costsintdt

=∫csctdt-∫1sintd（sint）=lncsct-cott-lnsint+C

=lncsct-cottsint+C=ln1-costsin2t+C.

图1

根据ex=sect，t∈（0，π2），做辅助直角三角形（如图1），可得sint=e2x-1ex，cost=1ex，因此，∫1ex+1dx=ln1-1exe2x-1ex2+C=lnexex+1+C.

3.7"第二类换元，利用tan2x+1=sec2x

解法十：∫1ex+1dx=∫ex+1（ex+1）2dx=∫ex+1e2x+1+2exdx.

令ex=tant，t∈0，π2，则∫1ex+1dx=∫ex+1e2x+1+2exdx=∫tant+1sect+2tantd（lntant）

=∫tant+1sect+2tant1tantsec2tdt=∫sint+cost1+2sintcost1sintdt=

∫sint+costsin2t+cos2t+2sintcost1sintdt=∫1sint+cost1sintdt=∫（sint+cost）2-2sintcostsint+cost1sintdt

=∫sint+costsint-2costsint+costdt.

其中，∫sint+costsintdt=∫1dt+∫1sintd（sint）=t+lnsint+C，∫costsint+costdt=12∫cost+sint-sint+costsint+costdt=12∫1dt+∫1sint+costd（sint+cost）

=12t+lnsint+cost+C，故∫1ex+1dx=lnsint-lnsint+cost+C=lnsintsint+cost+C.

图2

根据ex=tant，t∈（0，π2），做辅助直角三角形（如图2），可得sint=exe2x+1，cost=1e2x+1，故∫1ex+1dx=lnexe2x+1exe2x+1+1e2x+1+C=lnexex+1+C.

解法十一：令ex=tan2t，t∈0，π2，则x=lntan2t，dx=2tantsec2ttan2tdt=2sec2ttantdt，∫1ex+1dx=∫1tan2t+12sec2ttantdt=∫1sec2t2sec2ttantdt=2∫1tantdt=2∫1sintd（sint）

=2lnsint+C.

图3

根据ex=tan2t，t∈0，π2，做辅助直角三角形（如图3），可得sint=exex+1，故∫1ex+1dx=2lnexex+1+C=lnexex+1+C.

3.8"利用双曲正弦双曲余弦函数的关系cosh2x-sinh2x=1

解法十二：令ex=sinh2t，则x=lnsinh2t，dx=2sinhtcoshtsinh2tdt=2coshtsinhtdt，

∫1ex+1dx=∫1sinh2t+12coshtsinhtdt=∫1cosh2t2coshtsinhtdt=2∫1coshtsinhtdt=

2∫cosh2t-sinh2tsinhtcoshtdt=2∫coshtsinht-sinhtcoshtdt=2∫1sinhtd（sinht）-∫1coshtd（cosht）=2lnsinht-lncosht+C=2lnsinhtcosht+C=lnexex+1+C.

本文从高等数学中一道不定积分题目出发，用不同的方法进行解答，以上十二种解法展示了“一题多解”的基本过程，体现了题目解法的灵活性和多样性.“一题多解”教学的目的在于拓宽学生的知识面，提高学生运用不同知识解答问题的技巧.虽然过程不同，但结果一致，这体现了一题多解的结论一致性、数学知识的融会贯通以及对发散性思维、创新能力的培养.教学设计丰富而有层次，由浅入深，符合本科一年级学生的认知规律和学习程度要求，学生通过学习、思考和对比能更深入地理解知识点及不同方法的区别和优缺点，以便针对不同的实际应用而选择不同的处理方法.通过“一题多解”不仅能体现解题能力的强弱，也能彰显它开放思维、创意创新的特点.因而，“一题多解”是培养学生创新能力的一种重要途径.

通过对比不同解题方法的过程和优缺点，同学们对所学知识间的纵横关系有所了解，同时通过比较能找到更简洁的解题途径.以隐性课程思政的方式，培养学生探索未知、精益求精的科研精神，进一步体现了科学研究的一般规律.同时，在小组合作讨论交流、查阅资料的过程中，也提高了同学们的团队协作能力和彼此的感情，这无疑也是一种很好的思政教育.

除此之外，高等数学课程中的很多题目都可以用多种思路和方法求解，在组织“一题多解”教学时，应以学生为主体，充分引导以激发学生的自主学习和自我探索能力，促进学生的学习兴趣，弘扬学生的创新精神，鼓励其积极参与教学活动，并敢于标新立异，勇于提出问题，积极开展交流和讨论，课后让学生通过相应的训练达到熟能生巧的程度，使学生深化知识的理解和应用，培养学生的实践和再创造能力.这样才有利于学生突破思维的局限性，培养学生的发散思维和综合能力，这对学生学习综合运用多种积分技巧求解不定积分具有启发意义.

参考文献：

［1］王彩侠，戴智博.高等数学中一题多解及创造性思维培养探究［J］.教育现代化，2019，6（39）：173174.

［2］同济大学数学科学学院.高等数学（上）［M］.8版.北京：高等教育出版社，2023.

基金项目：2024年江苏省高校人工智能通识教育教学改革研究专项课题：人工智能视域下大学数学课程教学转型探索研究（2024AIGE44）；教育部产学合作协同育人项目：教育数字化背景下基于应用型人才培养的大学数学教师教学水平提升研究（2409072015）;2024年苏州城市学院高等教育改革研究项目：新工科背景下基于“一中心—三要素—四方位—多元化”数字化赋能大学数学教育教学评价的探索研究（24JGJ24）

作者简介：郝晓红（1986—"），女，汉族，硕士，副教授，主要研究方向：微分方程、数学教育。