浅谈凑微分法的教学

陈文亚

摘 要： 凑微分法（第一换元法）既是高等数学积分学的重点，又是难点.一般学生在刚开始学习凑微分法时，总会被方法的名字迷惑，认为凑微分法就是求导数或求微分，使得整个学习走向错误的方向，觉得凑微分法非常难学.因此作者根据多年的教学经验，总结了一些方法，让学生理解凑微分，从而掌握凑微分的实质，摒弃原来死套公式的方法，从本质上掌握凑微分法.

关键词： 不定积分 凑微分法 第一换元法

凑微分法是高等数学中常用的积分方法，也是一种很重要的积分方法，它既是学习第二换元法和分部积分法的基础，又是学习定积分、微分方程、多元函数重积分的基础.虽然凑微分法很重要，但学生在学习这部分内容时就是掌握不好，究其原因主要有以下几个.

一、概念混淆，分不清凑微分和微分的本质区别.初学者经常会把凑微分和微分这两个概念混淆，这两个概念虽然字面相近，但两者是互逆运算，微分与导数相关.凑微分实际上是已经知道函数的微分，问的是哪个函数的微分，如微分cosxdx是哪个函数的微分呢？由导数公式（sinx）′=cosx，得到dsinx=cosxdx，我们把这个过程称为凑微分.

凑微分概念与原函数非常相似，而原函数全体就是不定积分，从而得到凑微分遵循的是积分原则，但形式是微分，正是这种形式上的差别让学生很难接受凑微分的实质是积分，所以在刚接触凑微分法的时候，学生经常会把公式xdx凑微分成d2x或dx.故老师在讲授新课时，首要任务是讲清楚凑微分与微分的区别，同时要反复强调凑微分的实质是积分，凑微分遵循的原则是积分规律，但形式还是微分.一旦理清了凑微分的内涵，学生在学习凑微分法的时候，就不需要死记那些凑微分的公式，只需记住积分公式，在凑微分的时候写成微分形式即可，从而减轻了学生的记忆负担.在掌握凑微分的概念后，学生在选择函数进行凑微分时，就会有更大的主动性，知道凡是可以积分的函数都可以凑微分，那么函数的选择范围就更大.

二、记不住凑微分公式.要想把凑微分法学好，在理解凑微分实质的基础上，还要熟练掌握常用的积分公式，特别是幂函数的积分公式.初学不定积分的同学一般都会背幂函数的积分公式，但不会真正使用，教师可以把幂函数的积分公式的常用形式罗列一下，这有助于学生学习凑微分法.

三、面临多个函数可以凑微分，不会选择判断.高等数学教材在讲授凑微分法时，都会通过一些简单、常见的例题给学生总结一些凑微分的公式，学生即使把这些公式背熟，碰到熟悉的会做，一旦形式发生改变，就不会运用这些公式了，究其原因就是不理解为何要凑微分.事实上，凑微分法是复合函数求导法则的逆运算，复合函数求导法则中要对内层函数和外层函数求两次导数，因此凑微分法也要做两次积分，凑微分是对复合函数的内层函数积分，积完分需要换元，故内层函数凑好微分后的形式都会在原不定积分中出现.

根据上面的讨论，凑微分法在计算不定积分的时候，选择函数凑微分的依据有两个：（一）可以积分的函数才可以凑微分；（二）选择的函数在凑微分后，微分符号d左面表达式与右面的表达式应该有公共部分.一般来说，只要凑微分后，微分号前后有公共部分，凑微分的选择和变形就是对的.

上面的两个依据只是教学生如何选对函数，函数选对了不一定能把积分算出来，因为在凑微分的时候通常要注意两个技巧.第一个技巧是凑微分的时候通常会有系数或负号产生，系数和符号一般都要放在微分号的前面，这样进行第二步换元时，换元对象非常清晰.第二个技巧是在凑完微分后有时还需要做系数的恒等变形或常数的变化.

事实上，凑微分法就是反复使用基本积分公式表，学生在学习过程中要紧扣这个关键点，第一步选择哪个函数凑微分，凑成什么形式，都必须依据积分表，不可凭空捏造；第二步微分凑好后，一定要根据凑出来的函数换元，当换元后的形式在积分公式表中找不到时，可能是凑微分对象选择不对，检查微分符号d左右的形式是否有公共部分，如果有，就要根据题目的具体情况对凑出来的函数做系数和常数的恒等变形；如果微分符号左右的形式没有公共部分，这时就要从第一步重新开始选择函数.

此外，学生在学习过程中还会把凑微分法和分部积分法混淆，因为分部积分法的第一步也是凑微分，但虽然两种方法的第一步都是凑微分，目的却完全不一样，凑微分法是为了让左右有公共部分，以便换元；而分部积分法则是为了把函数变成？蘩udv形式，而且？蘩udv中左右函数是绝对不会有公共部分的，弄清楚这一点，两者就不会混淆了.

参考文献：

[1]林瑾瑜.不定积分凑微分法探析.和田师范专科学校学报，2006（41）.

[2]龚亚英.谈谈不定积分凑微分法的教学.数学爱好者（教育学术），2008（02）.

[3]甘建强.浅谈凑微分法的阶梯方法.东西南北教育观察，2012（05）.

[4]侯风波.高等数学（第三版）.高等教育出版社，2010.5.