不定积分换元法分类运算方法研究

王振福

【摘要】在不定积分的计算方法中，换元积分法无疑是最重要的方法之一，也是最常用的方法之一，本文主要介绍不定积分换元积分法的几个具体方法及其应用，并对其进行整理归纳以提高教育的质量，提高学生对不定积分换元积分法的学习能力.

【关键词】不定积分；换元积分法；分类运算

一、引言

在高等数学的学习过程中，换元积分法是十分重要的一环，换元积分法主要是应用于不定积分的运算中，教材中对不定积分的运算介绍的较为简单，本文主要针对现有教材中存在篇幅较少的问题进行探究，不只是简单地将换元积分法分为第一类换元法和第二类换元法.本文的目的就是提高学生灵活运用换元积分法来对不定积分进行运算的能力，提高学生对不同题型的运算能力，合理选择正确的换元积分法，以免出现误用或者不会用的情况，从而能够提高高等数学的教学质量.

二、第一类不定积分换元法

第一类换元法也称为凑微分法，求积分与求导有着密切的联系，两者之间是逆运算的关系，只要充分了解求导的细节就能够灵活运用第一类积分法对不定积分进行运算，因此，为了将第一类换元法灵活运用，学生必须熟练掌握求导或者微分的公式及运算法则，这是学会第一类换元法必不可少的步骤.

第一类换元法的本质就是对函数进行凑微分，这也是不定积分运算中十分简便的一个计算方法，凑微分即求导的逆运算，针对的是对复合函数进行积分时凑出所求函数的中间变量，该复合函数的形式一般表现为f[φ（x）]，其积分形式一般表现为∫f[φ（x）]φ′（x）dx，将中间变量的形式转变为u=φ（x），通过对中间变量进行转变可以将复合函数转变成基本函数，从而能够使得计算变得简单，其具体方法如下.

∫g（x）dx=∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C（令u=φ（x））.

第一类换元法的计算方法可以将之分为四步来进行：凑微分，换元（转变中间变量），积分，代回.在使用第一类换元法的时候需要注意一些关键问题.

（一）首先应该注意第一步，凑微分作为第一类换元法的关键部分，要求学生能够熟练掌握基本函数的微分，在这个过程中不存在很强的规律性，这就需要学生增强对这部分知识的记忆，通过记忆将之牢牢掌握，从而能够在运算中选择合适的凑微分方式来进行不定积分的运算.关于凑微分大体可以分为以下几种类型.

类型1.∫f（ax+b）dx，令u=ax+b；

类型2.∫xμ-1f（xμ）dx，令u=xμ；

类型3.∫exf（ex）dx，令u=ex；

类型4.∫f（lnx）xdx，令u=lnx；

类型5.∫f（x）xdx，令u=x.

除此之外还有很多类型的微分，学生需要灵活掌握，教师在进行高等数学的教学过程中也可以有选择性地通过一些例题让学生巩固关于微分的知识.

（二）在实际的计算过程中不必要在意换元过程，因为换元只是为了让计算变得更加简便，不存在实质性的意义，换元的过程就是令u=φ（x），换元完成后再将u=φ（x）代回，在整个过程中φ（x）没有发生任何变化，因此在换元的时候可以直接运用公式来进行.

三、第二类不定积分换元法

第二类换元法的手段、目的与第一类换元法并无两样，通过设置新的变量t来构造一个新的函数代替原有的变量x，即x=φ（t），这样做是为了解决第一类换元积分法不能解决的运算问题，使得转变后的积分能够通过积分表或者积分公式来进行对不定积分的运算.

关于第二类换元法可将之分为四个方法，这四个方法能够帮助学生快速地找到适当的换元函数x=φ（t），这四种方法分别为：根式代换法、倒代换法、三角代换法、指数代换法等.

（一）根式代换法

根式代换法主要是针对函数中存在根号的积分题型，其目的就是为了去掉根号对积分造成的障碍，具体方法就是将根号变为变量t，若函数中含有多个x的n次方根，即令x=tm，m为所有根指数的最小公倍数.

（二）倒代换法

如果被积函数中分母的幂指数高于分子的幂指数，则可以令x=1t，以使得被积函数可以利用求积分公式求出.

（三）三角代换法

三角代换法就是当被积函数中含有不同的根式时，可以采用相应的三角函数代换来使得被积函数可根据积分公式求出积分.

（四）指数代换法

若被积函数中含有f（ex）或f（ax）的式子的时候，可用f（ex）=u或f（ax）=t进行换元.

四、结论

综上所述，第一类换元法的本质就是将复合函数替换成变量来进行积分的运算，第二类换元法的本质就是将被积函数中的变量换成合适的函数来使被积函数可以直接利用积分公式来进行积分.

【参考文献】

[1]高大維，冯世强，崔宇，陈友军.不定积分与定积分第二类换元法的讨论[J].高等函授学报（自然科学版），2011（04）：20-22.

[2]吴天庆.关于不定积分换元法的处理方法[J].数学学习与研究，2013（13）：73.