微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结

王闪闪

摘 要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加强知识分类、识别的介绍和方法总结，多举例，注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验，本文对第一类换元积分法做分类总结，教会学生识别不同的被积函数，进而采用相应合适的积分方法。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

摘 要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加强知识分类、识别的介绍和方法总结，多举例，注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验，本文对第一类换元积分法做分类总结，教会学生识别不同的被积函数，进而采用相应合适的积分方法。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

摘 要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类

第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：

■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■

=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C

类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)

例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C

例2①■■②■■

分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△<0，通过对分母配方，做变换■■dx=■■dx；②中被积函数分母x2-5x+6的△>0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx

=■■d(x+1)=■arctan■+C

②■■=■■=ln■+C

类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)

例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C

例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C

类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)

例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)

=-■+C

类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)

例6■■dx=■■dex=■arcan■+C

类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分

ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx

=-■f(cosc)d(cosx)

例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C

ⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx

=■[■sin8xdx+■sin2xdx]

=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x)

=-■cos8x-■cos4x+C

ⅲ对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理：

（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1，

■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回；

（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。

例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx)

=■(sin2x-sin4x)d(sinx)

=■sin3x-■sin5x+C

例10■sin2xcos2xdx=■■■dx

=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx

=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C

类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx)

和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx)

例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■tanx(1+tan2x)d(tanx)

=■tan2x+■tan4x+C

或者用下面解法：

■tanxsec4xdx=■tanxsec2x·sec2xdx

=■sec3xd(secx)=■sec4x+C

类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C

例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C

类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx)

和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx)

例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C

例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C

不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加强知识分类、识别的介绍和方法总结，多举例，注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验，本文对第一类换元积分法做分类总结，教会学生识别不同的被积函数，进而采用相应合适的积分方法。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]赵树嫄.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.