浅谈积分的计算

摘"要：微积分是数学发展史上最伟大的发明创造成果之一，其思想渗透在很多学科中，尤其在自然科学、社会科学中都有它的存在.“微积分”是所有高等院校都要开设的一门基础必修课程，这足以可见其重要性.微积分主要研究函数的一些性质，如连续性、可导性、可微性、可积性等.其中关于积分的内容在整个教学学习中占有很大比例，可见它在“微积分”学习中的重要性.本文从自身教学经验出发，对积分中的一些方法进行探讨.

关键词：曲边梯形；定积分；不定积分

中图分类号：G642；O134

积分的计算问题是“微积分”学习过程中学生必须掌握的基本技能，本文根据教学过程中关于一元函数积分学中遇到的一些计算问题进行讨论.

一、利用几何意义计算定积分

定积分的几何意义［1］：alt;b，f（x）≥0时，∫baf（x）dx=曲边梯形的面积；f（x）lt;0时，∫baf（x）dx=曲边梯形面积的相反数，或者说∫baf（x）dx=由曲线y=f（x）与x=a，x=b以及x轴所围图形面积的代数和.所以当曲边梯形的面积容易计算时，可以通过面积快速得出定积分的值.如：

例1：∫R0"R2-x2dx=π4R2.

因为f（x）="R2-x2≥0，0≤x≤R表示位于第一象限的四分之一圆周，根据几何意义积分值等于圆面面积的四分之一.

例2：∫21xdx=12（1+2）×1=32.

又如：可以根据cosx的图形利用定积分的几何意义得出∫π-πcosxdx=0.

一般地，∫baf（x）dx=由四条曲线所围图形面积的代数和.

注：这种方法只是针对平面上已知面积的简单图形（如和圆相关的图形、三角形等）时才有效，尤其在一些综合应用中可以快速得出结果.

二、利用被积函数的奇偶性与积分区间的对称性简化积分

设a＞0，f（x）在［-a，a］上连续，x∈［-a，a］.

（1）若f（-x）=-f（x），则∫a-af（x）dx=0；

（2）若f（-x）=f（x），则∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx.

因为∫a-af（x）dx=∫0-af（x）dx+∫a0f（x）dx，对于∫0-af（x）dx，令x=-t，则有∫0-af（x）dx=∫0af（-t）d（-t）=∫a0f（-t）dt=∫a0f（-x）dx，所以∫a-af（x）dx=∫a0［f（x）+f（-x）］dx.

当f（-x）=-f（x）时，有∫a-af（x）dx=0；当f（-x）=f（x）时，有∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx.

例3：求∫1-1x2023cos2x+11+x2dx的值.

解：因为x2023cos2x在［-1，1］上连续，且是奇函数，11+x2是偶函数，所以有∫1-1x2023cos2x+11+x2dx

=∫1-1x2023cos2xdx+∫1-111+x2dx=0+2∫1011+x2dx=2arctanx10=2arctan1=π2.

例4：求∫3-3x5sin4x1+x2+x4dx的值.

解：因为x5sin4x1+x2+x4在［-3，3］上是连续的，且是奇函数，所以∫3-3x5sin4x1+x2+x4dx=0.

对于这类计算问题，首先注意到积分区间是关于原点对称的，下一步就应该检查被积函数（也可能是被积函数的一部分）是否具有奇偶性.如果有，应先简化后再进一步计算得出结果.

注：积分区间的对称性和被积函数的奇偶性这两个条件要同时满足，二者缺一不可，否则就容易出错.如：∫1-1exdx≠2∫10exdx，因为ex不具有奇偶性.

三、利用被积函数的周期性简化积分

设f（x）是（-∞，+∞）上的连续函数，且以T（≠0）为周期，则对任意a∈R，均有∫a+Taf（x）dx=∫T0f（x）dx，和∫a+nTaf（x）dx=n∫T0f（x）dx.

也就是说，连续函数在长为一个周期的区间上积分跟该积分区间的起点无关.

例5：求∫2π0sin2022xdx.

解：因为f（x）=sin2022x以π为周期，所以∫2π0sin2022xdx=2∫π2-π2sin2022xdx=4∫π20sin2022xdx

=4×20212022×π2=20212022×2π

注意：这里用到了一个结果∫π20sinnxdx=∫π20cosnxdx=n-1nn为奇数

n-1n×π2n为偶数，

其中n表示双阶乘，如8=8×6×4×2，9=9×7×5×3×1.

例6：求∫2nπ0"1+cos2xdx的值.

解：因为"1+cos2x是以π为周期的函数，所以∫2nπ0"1+cos2xdx=2n∫π0"1+cos2xdx=2n∫π0"2cos2xdx

=2n∫π2-π2"2cosxdx

=4"2n∫π20cosxdx=4"2n.

注：例6中，如果不利用周期性简化，就会涉及函数在不同区间内的符号变化问题.

特别地，如果考虑周期函数在-T2，T2上的积分，有时候还可以结合上面介绍的是否具有奇偶函数积分的情况.

四、循环型积分

当计算过程中再次出现原积分问题的情形，就称该积分为循环型积分.如：

例7：求∫"a2-x2dx，其中a＞0.

解：∫"a2-x2dx=x"a2-x2-∫xd"a2-x2

=x"a2-x2-∫x-2x2"a2-x2dx

=x"a2-x2-∫-x2"a2-x2dx

=x"a2-x2-∫（a2-x2）-a2"a2-x2dx

=x"a2-x2-∫"a2-x2dx+a2arcsinxa

又∫1"a2-x2dx=arcsinxa+C，所以∫"a2-x2dx=x"a2-x22+a22arcsinxa+C.

这种方法避免了用第二类换元法（三角变量代换）.同理，∫"x2-a2dx、∫"x2+a2dx也可以采用类似的计算.

例8：求∫sec3xdx.

解：因为∫sec3xdx=∫secxsec2xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫tanxdsecx

=secxtanx-∫tan2xsecxdx

=secxtanx-∫（sec2x-1）secxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+ln"|secx+tanx|

所以∫sec3xdx=secxtanx2+12lnsecx+tanx+C.

例9：求∫eαxcosβxdx，α，β≠0.

解：因为∫eαxcosβxdx=1α∫cosβxdeαx=1α（e）αxcosβx-∫eαxdcosβx）=1α（e）αxcosβx+β∫eαxsinβxdx）

=1α（e）αxcosβx+βα∫sinβxdeαx）

=1α（e）αxcosβx+βαeαxsinβx-βα∫eαxdsinβx）

=1α（e）αxcosβx+βαeαxsinβx-β2α∫eαxcosβxdx）.

所以，∫eαxcosβxdx=1α2+β2αcosβx+βsinβxeαx+C.

同理，∫eαxsinβxdx也可以进行类似的计算.

以上循环型积分都是基于分部积分法的基础之上进行，即∫udv=uv-∫vdu.

要注意多次使用分部积分法时，前后选择u、v的规则要一致，如都是“对、反、幂、三、指”，排在前面的和函数作为u，否则就会出现“兜回去”的现象.

五、有理分式的积分［13］

有理分式的积分是微积分中常见的问题，在计算过程中遇到的一个复杂问题是对有理分式的分解.设f（x）=P（x）Q（x），其中P（x）、Q（x）分别是m阶和n阶多项式，且互质.当mlt;n时，f（x）=P（x）Q（x）称为真分式；当m≥n时，称为假分式，且任何假分式都可以写成一个多项式与一个真分式的和，如f（x）=x3-xx2+1=x3+x-2xx2+1=x-2xx2+1.所以，∫f（x）dx的主要问题集中在对真分式的积分计算.由代数学基本定理可知，分母Q（x）在实数范围内一定能分解成不超过二次因式（包括重因式）的乘积，如Q4（x）=x4+1=（x2+"2x+1）（x2-"2x+1）.

假定mlt;n，f（x）=P（x）Q（x）为真分式.不妨设Q（x）的首项系数为1，因为

f（x）=P（x）Q（x）

=P（x）（x-a1）n1…（x-ak）nk…（x2+p1x+q1）m1…（x2+plx+ql）ml

=A1x-a1+A2（x-a1）2+…+An1（x-a1）n1+…+B1x+C1x2+plx+ql+…+

Bmlx+Cml（x2+plx+ql）ml

其中，pj2-4qjlt;0，j=1，2，……，l.分解式中各系数可以通过待定系数法求出，x2+pjx+qj可以写成一个平方和.所以，∫f（x）dx=∫A1x-a1dx+…+∫An1（x-a1）n1dx+…+∫B1x+C1x2+p1x+q1dx+…+∫Bmlx+Cml（x2+plx+ql）mldx.

上面各积分式中最麻烦的问题形如∫B2x+C2（x2+p2x+q2）2dx，……，∫Bmlx+Cml（x2+plx+ql）mldx.

由于x2+p2x+q2，…，x2+plx+ql都是平方和u2+a2，a≠0，所以最终的难点就在于计算In=∫1（x2+a2）ndx，n＞1.通过下式：

In=∫1（x2+a2）ndx=1a2∫x2+a2-x2（x2+a2）ndx

=1a2∫1（x2+a2）n-1dx-12a2∫x（x2+a2）nd（x2+a2）

=1a2∫1（x2+a2）n-1dx+12（n-1）a2∫xd1（x2+a2）n-1

=1a2∫1（x2+a2）n-1dx+12（n-1）a2x（x2+a2）n-1

-12（n-1）a2∫1（x2+a2）n-1dx

=2n-32（n-1）a2In-1+12（n-1）a2x（x2+a2）n-1

I1=∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C.

可得出一个递推式的结果.下面举例说明：

例10：求∫x-1x2-2x-3dx.

解：因为x-1x2-2x-3=x-1（x+1）（x-3）=Ax+1+Bx-3，

A（x-3）+B（x+1）=x-1，比较系数得A=B=12.

所以，∫x-1x2-2x-3dx=∫12x+1+12x-3dx=12∫1x+1dx+12∫1x-3dx=12lnx+12lnx-3+C.

例10中的真分式分母上的多项式能分解成两个一次因式的乘积，不含有二次因式，比较简单，如果分母是含有二次因式尤其是二次重因式的情况就复杂得多.

例11：求∫x-3x3-2x2+xdx.

解：因为x-3x3-2x2+x=x-3x（x-1）2=Ax+Bx-1+C（x-1）2，

A（x-1）2+Bx（x-1）+Cx=x-3，A=-3，B=3，C=-2.

所以∫x-3x3-2x2+xdx=∫-3x+3x-1+-2（x-1）2dx=-3lnx+3lnx-1+2x-1+C

例12：求∫x2+x+2（x2+1）2"dx.

解：因为

∫x2+x+2（x2+1）2"dx=∫x2+x+2［（x2+1）-x2］（x2+1）2dx

=∫2x2+1dx+∫x（x2+1）2dx-∫x2（x2+1）2dx

=∫2x2+1dx+12∫1（x2+1）2d（x2+1）

-12∫x（x2+1）2dx2+1）

=∫2x2+1dx-12（x2+1）+12∫xd1x2+1

=∫2x2+1dx-12（x2+1）+x2（x2+1）-12∫1x2+1dx

=32arctanx+x-12（x2+1）+C.

也经常会遇到一些其他特殊函数的积分，如三角有理分式或某些含有根号的函数的积分，这时就需要采取某种变量代换最后化成有理分式的积分，而且对于同一个积分，如果采取不同的变换，计算中繁简程度差异可能会非常大.如：

∫sinxcosx1+cos2xdx=∫sinx2-sin2xdsinx

=12∫12-sin2xdsin2x

=-12ln（2-sin2x）+C

或令t=tanx，则x=arctant，∫sinxcosx1+cos2xdx=∫tanx1+sec2xdx=∫t2+t2darctant

=∫t（2+t2）（1+t2）dt

或利用万能公式，令t=tanx2，x=2arctant，则

sinx=2t1+t2，cosx=1-t21+t2，dx=21+t2dt

∫sinxcosx1+cos2xdx=∫2t1+t2.1-t21+t21+1-t21+t22·21+t2dt

=∫2t1+t2.1-t21+t21+1-t21+t22·21+t2dt

=∫t（1-t2）1+t4·21+t2dt

后两种方法到此也只是将三角有理分式的积分化成了前面介绍的有理分式的积分，后面的分解计算都很烦琐，在此就不赘述.从这个例子可以看出，凑微分法即第一类换元法是最简单的积分方法，利用万能公式是最复杂的，万能公式可能会使计算显得冗长，这也说明了在选择积分方法时一定要灵活.

结语

本文只是针对教学中遇到的一部分积分计算问题进行探讨.实际上，积分的计算是灵活多样的，即使针对同一个问题，每一部分也可能会用到不同的方法，所以在计算过程中应根据实际情况选择恰当的处理方式，比如利用函数的周期性或奇偶性等特征先简化问题再进一步解决会起到很好的效果.

参考文献：

［1］曹广福，叶润芬，赵红星.高等数学（一）［M］.北京：高等教育出版社，2009：121126.

［2］同济大学数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2014：110116，141.

［3］李忠，周建莹.高等数学［M］.北京：北京大学出版社，2009：188195.

作者简介：路群（1977—"），女，汉族，贵州平坝人，博士研究生，副教授，研究方向为泛函分析。