中职汽修专业公共数学课平面向量与基尔霍夫定律的融通研究

摘"要：本文旨在通过中职公共数学课与汽车维修运用专业的课程的一个具体案例——平面向量与基尔霍夫定律的融通研究，建立数学公共课与汽修专业教学的有效衔接，通过融通研究分析平面向量和基尔霍夫定律在各自领域内的基本原理和应用，揭示其在数学及电路理论中的共通之处，有效破解中职公共数学课与汽修专业教学之间的桎梏。这不仅对于加强中职公共课与专业课程教学之间融通实践研究有良好的示范作用，也是武汉市仪表电子学校“三教改革、三全育人”的先行先试。本文通过融通研究分析，加强了公共数学课与汽修专业课教学之间的互通互联，为跨专业学科研究提供新的视角。

关键词：中职数学；平面向量；基尔霍夫定律；融通研究

中图分类号：G712""文献标识码：A

一、概述

孔祥浩［1］在2017年提出尝试融合各门公共基础学科，开展一门培养学生职业能力的专项课程，并以数学学科为例，阐述该课程的教学内容设计，发挥数学在职业能力培养中的作用。林巍［2］在2019年提出探究在现代学徒制背景下，如何采取有效策略去改进公共基础课的教学方法（以中职数学为例），以提升教学效率。严生辉［3］在2020年特别研究了中职数学高效课堂教学特征，并从多个方面提出中职数学高效课堂教学策略。李琼［4］在2020年提出现如今的职业教育由于有些过于看重职业教育，忽视了文化基础课的教育，导致出现了一些接受过中等职业教育的学生，在文化基础课程上要逊色于一些普通院校的学生，因此要将文化基础课重视起来，这样才能培养文才兼备的技术型人才。田静等［5］在2021年提出构建“中职数学+专业”的课程整合和教学改革模式，通过建立课程组、研发新教材、优化教学模式、搭建资源库等措施，进而提升学生学习信心和教师专业素养，为后续公共基础课与专业课的有效融合奠定扎实基础。

平面向量是数学教学中的一个基本概念，广泛应用于物理、工程、经济等诸多领域。它是代数和几何共同的研究对象，通过向量运算可以简化许多复杂问题的求解和运算。基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），是理解和设计电路系统不可或缺的工具。

本文基于文献［1］—［10］尝试将平面向量与基尔霍夫定律进行融通研究，探索两者之间的内在联系和共通之处，使汽修专业学生能借助平面向量工具更好地理解和运用基尔霍夫定律解决电路中的电压和电流问题。

（一）平面向量

1.平面向量的基本概念

平面向量是既有大小又有方向的量，通常用带箭头的线段表示。在二维平面上，一个向量可以由其起点和终点确定，也可以通过坐标表示法给出。向量之间的基本运算包括加法、减法、数乘和内积等。平面向量指定了起点到终点的方向，平面向量的大小（称为模或长度）表示其“长度”或“强度”，平面向量常用带有箭头的有向线段表示。

2.平面向量的重要定理

平面向量基本定理：平面上任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量的线性组合。这一定理揭示了平面上向量的基本构成方式，是向量分析的基础。

平面向量共线定理（平行向量共线定理）：若两个向量共线，则它们之间存在线性关系，即一个向量是另一个向量的数乘。

（二）基尔霍夫定律基本原理

1.基尔霍夫电流定律（KCL）

KCL表述为：在集总电路中，对于任一节点，在任一时刻流出（或流进）该节点的所有电流的代数和恒为0。这一定律基于电荷守恒定律，即电荷既不能创造也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一端转移到另一端。KCL是分析电路中电流分布的重要工具。

2.基尔霍夫电压定律（KVL）

KVL表述为：在集总电路中，对于任一闭合回路，沿回路绕行一周，各元件电压的代数和恒等于0。这一定律基于能量守恒定律，即在一个闭合系统中，能量的变化必须满足守恒条件。KVL是分析电路中电压分布的重要工具。

二、平面向量与基尔霍夫定律的融通研究

在探讨平面向量与基尔霍夫定律的融通关系时，结合电路图表进行说明可以更加直观地展示两者之间的联系。图1是一个简化的电路图，图2是实验操作图，针对基尔霍夫定律知识点和平面向量共通点，通过实验电路图表示例及操作，中职学生能够加深平面向量与基尔霍夫定律之间的内在联系，克服了电路分析的恐惧心理。

（一）基尔霍夫电流定律（KCL）和电压定律（KVL）的应用

在图3节点a应用KCL：根据基尔霍夫电流定律，流出或流入节点a的所有电流的代数和必须为0。在这个例子中，假设I1是通过R1的电流，I4是通过R4的电流，I6是通过R6的电流，那么KCL可以表示为：I1+I4+I6=0（通常情况下电流流出为正，流入为负，且实际情况中不会有完全相消的电流，这里仅为了说明代数和的概念）。在更复杂的电路中，可能会有多个电流流入或流出同一节点，但KCL总是成立。在图4虚线所示回路中应用KVL：根据基尔霍夫电压定律，回路电路中的所有电压的代数和必须为0。在这个例子中，假设U1是R1两端的电压，U2是R2两端的电压，U3是R3两端的电压，那么KVL可以表示为：U1+U2+U3=0。

（二）电流、电压与平面向量的关系

1.电流与平面向量的关系

在研究电流与平面向量的关系时，将电流视为“向量”，其中平面向量的长度表示电流的强度I，平面向量的方向表示电流流动方向（电流在集总电路中本质上是标量，可以视为有方向的量）。在平面向量中，多个平面向量的和可以通过平面向量加法法则推出。类似地，多个电流的“和”（代数和）可以通过KCL计算。电流与平面向量在数学描述和物理意义上确实存在共同之处，可以从三个角度阐述电流与平面向量的关系。

（1）方向性的类比。在集总电路研究中，当电流的“方向性”与平面向量的“方向性”进行类比时，电流可看作是一个沿着导线流动的平面向量，其方向即为电荷流动的方向，大小则用电流强度（单位时间内通过导体横截面的电荷量）来表示。

（2）大小与强度的类比。电流的大小用电流强度I来衡量，单位为安培A，是一个标量。平面向量的大小（长度或模长）表示向量的长度或强度，也是一个标量。将电流的电流强度类比为平面向量的模长，都表示了某种“量”的大小。

（3）运算的类比。平面向量支持加法、减法、数乘、点积、叉乘等多种运算以及旋转、平移等变换。在集总电路分析中，虽然电流不能直接进行向量运算，但是电流的变化（交流电的相位变化）和电流在不同元件中的分配（基尔霍夫定律）可以用类似向量的方法来理解和计算。此外，电流在集总电路中的分布和变化也可视为一种“向量场”的变换，可以通过向量的方法来直观表示和分析。

抽象来看，电流和平面向量都是描述某种“量”在空间中分布和变化的工具。电流在集总电路中的流动可以视为特殊的“向量场”，而平面向量则是提供了一种数学上解决这种“向量场”的工具。

2.电压与平面向量的关系

在研究电压与平面向量的关系时，电压是电学的一个基本量，平面向量是数学中用于描述二维空间内具有大小和方向的量的工具。通过下面三个角度研究可以探讨两者之间的融通之处。

（1）方向性的类比。在集总电路研究中，当电压的“方向性”与平面向量的“方向性”进行类比时，虽然在直流电路中电压通常遵循“正极到负极”的定向，但是在交流电路中，电压的方向可以随时间周期性变化而发生变化，正是这种周期性变化可以类比平面向量在平面上的旋转或方向变化。

（2）大小与强度的类比。在集总电路研究中，电压的大小与平面向量的大小都表示了某种“量”的强度或程度。在电路中，电压的大小决定了能量转换的效率；而在数学中，平面向量的大小表示了其代表的物理量（如力、速度等）的强弱。

（3）运算的类比。在集总电路研究中，电压遵循基尔霍夫电压定律（KVL），可以看作是电压在电路中的“加法”运算。平面向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则，结果仍是一个平面向量，可以看作是平面向量矢量和在二维向量空间的“加法”运算，类似物理中力的合成。虽然电压的“加法”与平面向量的“加法”在物理意义上有所不同，但是在运算形式上具有一定的相似性，电压和平面向量本质都是“量”的代数线性组合，并且组合后的结果仍保留原“量”的性质（电压仍是电压，向量仍是向量），特别是零向量更好地验证了电压和平面向量运算的共同之处。

电压与平面向量虽然分属不同的学科领域，但通过方向性、大小和运算的类比研究，可以发现两者之间存在一定的融通联系和共通之处。这种类比有助于从一个新的不同视角理解电压的概念，同时也展示了平面向量作为一种重要的数学工具在物理学中的广泛应用和深刻影响。

（三）代数与几何的共通性

平面向量与基尔霍夫定律在代数与几何层面均表现出共通性。平面向量是通过坐标表示法和向量运算实现了代数与几何的紧密结合。基尔霍夫定律则是通过电流和电压的代数和来描述电路中的物理现象，同样体现了代数与几何的统一性。

（四）守恒定律联系

电荷守恒定律和能量守恒定律是自然界的基本法则，它们在平面向量与基尔霍夫定律中均有体现。平面向量中的共线定理可以视为守恒定律在几何层面的应用，基尔霍夫定律则是守恒定律在电路理论中的直接体现。通过对比分析，可以发现两者在守恒原理上的内在联系。

（五）线性关系的相似性

平面向量中的线性组合和基尔霍夫定律中的电流、电压代数和均体现了线性关系的思想。在平面向量中，任意向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。在电路中，任意节点的电流代数和以及闭合回路的电压代数和也都满足线性关系，这种相似性为两者的融通研究提供了可能。

结语

本文通过对平面向量与基尔霍夫定律的融通研究，揭示了两者在代数与几何、守恒定律以及线性关系等方面的内在联系。虽然上述类比在严格意义上并非完全精确（电流本质上是标量而非向量），但它有助于我们直观地理解基尔霍夫定律与平面向量在代数和线性关系方面的共通性。未来的研究可以进一步探讨如何将平面向量的某些方法和技巧（如向量分解、投影等）应用于电路分析，以及如何将电路理论中的概念（如阻抗、功率等）与平面向量的物理意义相结合，从而开发出更加高效和直观的电路分析工具。

参考文献：

［1］孔祥浩.中职数学教学内容整合的研究：基于公共基础学科联动特色的课程［J］.广东职业技术教育与研究，2017（01）：57.

［2］林巍.现代学徒背景下提升中职数学课教学效益的有效策略［J］.天工，2019（06）：3435.

［3］严生辉.构建中职数学高效课堂的教学策略［J］.现代职业教育，2020（15）：9495.

［4］李琼.基于专业需求导向的中职数学教学改革研究［J］.才智，2020（30）：4142.

［5］田静，王燕.融合与创生：“中职数学+专业”课程整合与教学改革实践［J］.职业教育研究，2021（02）：6368.

［6］候欣海.中等职业学校数学课与专业课整合的实践研究：以汽车维修专业为例［D］.上海：华东师范大学，2020.

［7］徐安川.中职数学模块化教学的研究［D］.广东：广东技术师范学院，2013.

［8］华晓芳.关于中职汽车专业学生数学学习的调查研究：以无锡汽车工程中等专业学校为例［D］.上海：上海师范大学，2012.

［9］孙露.澳大利亚维多利亚州中职数学素养教育研究［D］.上海：华东师范大学，2017.

［10］林孝明.中职数学教学与专业课程的结合［J］.考试周刊，2016（63）：52.

基金项目：湖北省职业技术教育学会科学研究课题（ZJZA202107）

作者简介：蔡强（1983—"），男，汉族，湖北武汉人，硕士，武汉市仪表电子学校基础部数学讲师，研究方向：中职数学教育研究。