依托平面几何基本定理，破解解三角形问题

摘要：在高中解三角形应用问题中，经常要用到初中平面几何中的一些基本定理来切入与转化.结合平面几何中的几个比较常见的基本定理的应用，如三角形的内角平分线定理、中线定理、射影定理以及斯库顿定理等，通过实例剖析与应用来展开，归纳总结解题技巧与策略，指导数学教学与复习备考.

关键词：平面几何；基本定理；解三角形；平分线；中线

在解三角形问题中，往往离不开平面几何图形的直观与平面几何性质的应用.特别是，结合三角形中相关基本定理及其应用，如三角形的内角平分线定理、三角形中线定理、三角形射影定理以及其他一些重要的定理如斯库顿定理等，给解三角形问题的切入与应用开拓更加宽阔的空间，成为解决解三角形问题的重要突破口与切入点之一，备受各方关注.

1 三角形的内角平分线定理

三角形的内角平分线定理，是依托三角形的内角平分线场景.

例1 〔2024年江西省八所重点中学高三（4月份）联考数学试卷·13〕如图1，在△ABC中，BC=4，角A的平分线AD交BC于点D.若BDDC=13，则△ABC面积的最大值为.

分析：本题依托题设条件中三角形的内角A的平分线AD，结合三角形内角平分线定理，合理构建三角形中对应线段之间的比例关系，能够给问题的进一步深入与应用创造条件，也是该问题切入的一个重要突破口.

解析：在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，结合三角形内角平分线定理，有cb=BDDC=13，即b=3c.

在△ABC中，利用余弦定理，可得16=b2+c2－2bccos A，结合b=3c，整理并化简可得

c2=85-3cos A.

所以△ABC的面积S=12bcsin A=12sin A5-3cos A，则5S=12sin A+3Scos A=144+9S2sin（A+φ），可得5S≤144+9S2，解得S≤3，当且仅当cos A=35，sin A=45时，等号成立.

所以△ABC面积的最大值为3.

点评：借助三角形的内角平分线定理，根据题设条件，回归解三角形问题的本质与内涵，借助解三角形中的正弦定理、余弦定理以及三角形的面积计算公式等，构建对应边与角之间的关系式，为问题的进一步探究与应用奠定基础.借助解三角形思维，从“数”的视角来构建相应的关系式，或从角所对应的三角函数关系式，或从边所对应的代数关系式等的构建，利用代数思维中的函数与方程、不等式等相关知识来分析与解决.

2 三角形的中线定理

三角形的中线定理，是依托三角形的中线场景.

例2 〔2024届广东省佛山市普通高中教学质量检测（一）高三数学试卷·16〕已知△ABC中，AB=2BC=2，AB边上的高与AC边上的中线相等，则tan B=.

分析：依托题设条件中AC边上的中线，结合辅助线的构建来找到对应的高线，利用三角形的中线定理来构建对应的关系式，进而实现问题的深入与应用.

解析：设AC边上的中线为BD，AB边上的高为CE=h，如图2所示，设BE=x.

在Rt△CEB中，利用勾股定理有

x2+h2=1.

①

在Rt△CEA中，利用勾股定理有

（2+x）2+h2=AC2.

利用三角形的中线定理，可得AC2+4BD2=2（AB2+BC2），即

（2+x）2+h2+4h2=10.

②

由①和②式消去参数h，可得4x2－4x+1=0，解得x=12，于是h=32，则有∠CBE=60°，∠ABC=120°，故tan B=tan 120°=－3.

点评：本题主要是根据题设条件中三角形的中线，借助三角形的中线定理，以及三角形的高线的辅助，构建对应的关系式，进而通过对应角的求解来确定对应角的三角函数值.

3 三角形的射影定理

三角形的射影定理，是依托三角形的场景.

例3 〔2024年山西省部分学校高考数学模拟试卷（3月份）〕锐角三角形ABC的内角A的对边为a，若△ABC的面积是a2，则sin Acos Bcos C的最小值是.

分析：依托题设条件中所求三角代数式的结构特征，联想到三角形的射影定理所对应的代数式，借助三角形的射影定理来创设，为进一步综合应用基本不等式创造条件，实现最值的求解与应用.

解析：由三角形面积公式，可得S△ABC=12bcsin A=a2，即bcsin A=2a2.

利用三角形的射影定理，有a=bcos C+ccos B.结合△ABC是锐角三角形，则有bcos Cgt;0，ccos Bgt;0.

由基本不等式，可得sin Acos Bcos C=bcsin Abccos Bcos C=2a2（bcos C）（ccos B）≥2a2bcos C+ccos B22=2a2a22=8，当且仅当bcos C=ccos B时，等号成立.

所以sin Acos Bcos C的最小值是8.

点评：借助三角形的射影定理，源于所求信息代数式的特征，借助关系式中两角余弦值的乘积，考虑到三角形的射影定理中有关两角余弦值的代数式关系，合理构建与转化，从而实现问题的切入与应用.三角形的射影定理的转化与应用是解题中比较难想到的一个关键点，也是解决问题的一个突破口.

4 三角形的斯库顿定理

三角形的斯库顿定理，是依托三角形的内角平分线场景.

例4 在△ABC中，点D在线段BC上，AD是∠A的平分线，若AD=3，且BD·CD=1，则sin B+sin Csin A=.

分析：依托题设条件中AD是∠A的平分线，借助三角形的斯库顿定理来构建对应的关系式，进而得以确定三角形两边长的乘积，综合解三角形中相关公式、定理等的应用，实现问题的突破与求解.

解析：设△ABC三内角A，B，C所对边分别是a，b，c

由于AD是∠A的平分线，如图3所示，结合斯库顿定理有AD2=AB·AC－BD·CD=bc－1=3，可得bc=4.

利用三角形面积关系有S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得12bcsin A=12c·3·sin A2+12b·3·sin A2，所以b+c=bcsin A3sin A2=4sin A3sin A2=8cos A23.

结合余弦定理有a2=b2+c2－2bccos A=（b+c）2－2bc（1+cos A）=64cos 2A23－8（1+cos A）=64cos 2A23－16cos 2A2=163cos 2A2，可得a=43cos A2.

所以，结合正弦定理有

sin B+sin Csin A=b+ca=83cos A243cos A2=2.

点评：借助三角形的斯库顿定理，利用边长之间的关系来确定两边的乘积关系.三角形的斯库顿定理，是课外的一个拓展与提升，初中教材中并没有涉及，是一个非常特殊且用处较大的平面几何基本定理.

在实际解决三角形中边与角关系的相关应用问题时，根据题设条件中的关系式及相应的结论特征，巧妙融合平面几何中对应三角形的基本定理，借助三角形的内角平分线定理、中线定理、射影定理及斯库顿定理等，或直接转化，或合理配凑，综合解三角形中正弦定理或余弦定理的应用，或数形结合直观处理，或逻辑推理代数运算，从而实现解三角形问题的突破与求解.