一题多解，一型四法：条件概率问题的破解方法

摘要：条件概率作为概率模块中一个重要知识点，是新旧高中数学教材中概率与统计知识模块的一个共同部分.在新课程改革与新高考模式下，条件概率的应用与考查更能体现创新与改革.结合典型实例与应用，就条件概率问题的一题多解加以展开，剖析破解条件概率的“四法”技巧，合理开拓数学思维，指导数学教学.

关键词：条件概率；定义；列举；古典概型

条件概率及其应用问题，是现实生活场景中经常碰到的一类实际应用问题，成为概率知识模块中的重点与难点之一.而在实际解决条件概率问题时，基于条件概率的定义与对应的计算公式，可以通过多种思维方式，采用多种常见的方法来处理，关键在于全面剖析应用问题的条件场景，厘清题设条件与所求结论之间的关系，掌握条件概率的基本概念、基本公式与基本性质，结合其他一些相关的技巧与方法来破解.本文中通过两个典型实例，合理归纳与总结，就破解条件概率问题的“四法”加以剖析，抛砖引玉.

1 一道二诊试题

（2024年重庆市万州第二高级中学高考数学二诊试卷）某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛.某党支部在5道党史题中（包含3道选择题和2道填空题）不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则P（B|A）=.

分析：以从5道党史题中不放回地依次随机抽取2道题作答来设置，结合事件A与事件B的不同设计，分别确定事件A的概率与事件AB的概率，成为解决问题的关键，进而结合不同的技巧来分析与应用，实现问题的突破与求解.

解法1：列举法

依题，设5道党史题中的3道选择题分别为a，b，c，2道填空题分别为x，y，则不放回地依次随机抽取2道题的所有基本事件为：ab，ac，ax，ay，ba，bc，bx，by，ca，cb，cx，cy，xa，xb，xc，xy，ya，yb，yc，yx，共20种情况.

而第1次抽到选择题有12种可能：ab，ac，ax，ay，ba，bc，bx，by，ca，cb，cx，cy.其中第2次抽到选择题有6种可能：ab，ac，ba，bc，ca，cb.

所以P（B|A）=612=12.故填答案：12.

解法2：定义法.

依题，可得P（A）=C13C15=35，P（AB）=C13C12C15C14=310，由条件概率公式可得P（B|A）=P（AB）P（A）=31035=12.

解法3：样本点数法.

依题，不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有5×4=20（个）样本点.

而n（A）=3×4=12，n（AB）=3×2=6，所以P（B|A）=n（AB）n（A）=612=12.

解法4：缩小样本空间法.

依题，第1次抽到选择题后，第2次再抽1道题，其样本空间有4个样本点，满足事件B的样本点有2个，所以P（B|A）=24=12.

2 解法总结

题型特点：此类条件概率问题的主要特点是设置两个不同层次的事件，进而确定在某一事件成立的条件下另一事件的概率问题.

解决条件概率的实际应用问题时，依托问题场景与要求，往往可以选取“四法”来具体分析与求解，并结合自身理解与掌握的情况，选用其中最适合自己的方法来解决与应用：

（1）列举法.其是求解概率问题时最基本、最常用的一种方法，一般适用于对应事件的基本事件不是太多的古典概型问题，这样方便对基本事件的列举.借助列举法处理基本事件的概率问题，可使得概率的求解更加直接有效，当然对条件概率的求解也非常适用.特别要注意的是，列举时要注意元素是否与顺序有关，要保持所有基本事件与对应具体事件之间的吻合性，不要出现重复或遗漏，否则容易导致错误.

（2）定义法.其是回归条件概率问题本质的场景下，具体应用最多的一种解题方法，是解决条件概率问题的根本方法.根据条件概率的定义，先求P（A）（P（A）gt;0）和P（AB），进而利用条件概率的定义，即对应的计算公式P（B|A）=P（AB）P（A），即可求解相应的条件概率P（B|A）的值.

（3）样本点数法.其是用来解决一些当条件概率中的基本事件适合有限性和等可能性的概率问题，也是通过建立古典概率模型来解决问题.合理借助古典概型的概率公式，分别求出事件A包含的样本点数n（A），事件AB包含的样本点数n（AB），结合公式P（B|A）=n（AB）n（A）来求解对应的条件概率.

（4）缩小样本空间法.其是一种缩小样本空间的方法，合理将问题转化为无条件概率，进而利用古典概率模型求解.解题时通过去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，合理缩小样本空间，进而利用古典概型的概率公式求解，可以很好地化繁为简，优化条件概率的求解过程.

3 高考链接

（2024年全国高考天津卷·13）A，B，C，D，E这5种活动，甲、乙都要选择3个活动参加.（1）甲选到A的概率为；（2）已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为.

解法1：列举法.

根据题意，从5个活动中选3个的情况有：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种情况.

其中甲选到A有6种可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE.所以甲选到A的概率为P1=610=35.

乙选到A活动有6种可能性：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，其中再选择B有3种可能性：ABC，ABD，ABE.故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P2=36=12.故填答案：35；12.

解法2：定义法.

依题，设甲选到A为事件M，乙选到A为事件M′，乙选到B为事件N.

所以甲选到A的概率为P（M）=C24C35=35.

又P（M′N）=C13C35=310，则乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P（N|M′）=P（M′N）P（M′）=31035=12.

解法3：样本点数法.

依题，设甲选到A为事件M，乙选到A为事件M′，乙选到B为事件N.

那么题设场景下所涉及的基本事件数为C35=10.

事件M′涉及的基本事件为：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，则知n（M）=6.

事件M′N涉及的基本事件为：ABC，ABD，ABE，则知n（M′N）=3.

所以，甲选到A的概率为P（M）=610=35；

乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P（N|M′）=n（M′N）n（M′）=36=12.

解法4：缩小样本空间法.

依题，设甲选到A为事件M，乙选到A为事件M′，乙选到B为事件N.

所以甲选到A的概率为P（M）=C24C35=35.

已知选到A，采用缩减样本法来处理：选到A后再选择的基本事件个数为C24=6，而同时选取A和B后再选择的基本事件个数有为C13=3.

所以乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P（N|M）=36=12.

点评：借助高考真题的应用剖析，对于条件概率问题，在全面剖析问题的题设条件，分清题目条件与所求结论之间的关系后，掌握相关的概率性质，可以通过列举法、定义法、样本点数法及缩小样本空间法等常见的“四法”求解，正确理解并掌握一些比较常用的方法，进而选用合适的方法来分析与处理，实现条件概率问题的突破与应用.

4 教学启示

条件概率问题的破解是有法可依的，正确掌握破解条件概率的基本技巧与方法，对于问题的分析与解决是有益处的.破解条件概率问题时，关键在于剖析问题本质，挖掘条件概率的实质，抓住对应问题类型，结合实际情况，合理选取与问题相关的、有效可行的方法来解决问题，实现解题目标.随着新课程改革与新高考的推进，涉及条件概率的试题难度也在不断加深，同时题目由选择题、填空题逐步变化，在解答题中呈现与应用等.

条件概率的应用与考查，根植于新高考土壤中，其地位与考查备受各方关注，在一定程度上突出了条件概率的真实地位.作为高中数学新旧教材中的一个共同知识点，条件概率及其综合应用引导高中教学逐步向新教材过渡.新高考更加注重考教衔接，在突出原教材主干知识与核心内容的同时，积极关注新教材、新高考的热点与趋势.