巧思维破解，妙视角拓展：一道离心率题的求解

摘要：圆锥曲线离心率及其综合问题，是历年高考数学试卷中的重点与热点，考查形式多样，场景变化多端.结合一道模拟题中椭圆离心率的求解，借助不同思维方式的应用，合理进行逻辑推理与数学运算，归纳总结解题技巧，巧妙变式与拓展，指导数学教学与解题研究.

关键词：椭圆；离心率；勾股定理；平面向量；双曲线

圆锥曲线离心率的求值或最值（或取值范围）问题，是基于椭圆或双曲线的问题场景，巧妙融入平面几何与平面向量等几何知识，或函数与方程、不等式以及三角函数等代数知识，非常契合高考数学试卷“在知识交汇点处命题”的指导思想；同时是多种思维方式切入与应用的基地，是数学命题与创新应用的一个重要场景，也是各类模拟考试与高考试卷中的热点问题之一，备受各方关注.

1 问题呈现

问题 （2024年浙江省温州市普通高中高三第三次适应性考试数学试卷·7）已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦点，C上两点A，B满足：AF2=2F2B，cos∠AF1B=45，则椭圆C的离心率是（" ）.

A.34

B.74

C.23

D.53

此题以椭圆为问题场景，结合椭圆上两点与两个焦点之间所对应的平面向量的线性关系及相应角的三角函数值，确定椭圆的离心率.以简单明了的场景创设，巧妙地将平面解析几何、平面几何、平面向量及三角函数等相关知识加以交汇与融合，实现知识之间的联系与转化.

2 问题破解

解法1：勾股定理法.

依题，设|BF2|=tgt;0.结合AF2=2F2B，可得|AF2|=2t.

根据椭圆的定义，可得|BF1|=2a－t，|AF1|=2a－2t.

如图1，在△AF1B中，由余弦定理，可得（3t）2=（2a－2t）2+（2a－t）2－2（2a－2t）（2a－t）×45，整理可得2a2－3at－9t2=0，解得a=3t或a=－32t（舍去）.

所以|BF1|=5t，|AF1|=4t，|AB|=3t，则有|AB|2+|AF1|2=|BF1|2，可知AB⊥AF1.

在Rt△AF1F2中，由勾股定理得（2c）2=（4t）2+（2t）2，解得c=5t.

所以椭圆C的离心率e=ca=5t3t=53.故选：D.

点评：根据圆锥曲线中的基本量方法，通过设元引入，借助椭圆的定义，结合解三角形中的余弦定理，合理构建各边之间的关系，为问题的进一步分析与求解奠定基础.而依托直角三角形的判定与勾股定理的应用，合理构建对应的关系式，为椭圆离心率的求解及其他相关应用创造条件.

解法2：平面向量法.

依题，设|BF2|=tgt;0.结合AF2=2F2B，可得|AF2|=2t.

根据椭圆的定义，可得|BF1|=2a－t，|AF1|=2a－2t.

如图1所示，在△AF1B中，结合余弦定理，可得（3t）2=（2a－2t）2+（2a－t）2－2（2a－2t）（2a－t）×45，整理可得2a2－3at－9t2=0，解得a=3t或a=－32t（舍去）.

所以|BF1|=5t，|AF1|=4t.

在△AF1B中，由AF2=2F2B，可得F1F2=13F1A+23F1B，两边平方可得（2c）2=19（4t）2+49（5t）2+49×4t×5t×45，解得c=5t.

所以椭圆C的离心率e=ca=5t3t=53.故选：D.

点评：同样依托圆锥曲线中的基本量方法，在确定各边之间关系的基础上，结合向量的线性关系，借助基底法思维构建对应的平面向量关系式，通过平方运算与转化，为进一步利用平面向量数量积创造条件.其思维基础是回归平面几何中“形”的几何特征，合理借助角的余弦值，联系平面向量数量积的定义公式，通过数学运算与逻辑推理，为问题的进一步深入与应用指明方向.

解法3：中线定理法.

依题，设|BF2|=tgt;0.结合AF2=2F2B，可得|AF2|=2t.

根据椭圆的定义，可得|BF1|=2a－t，|AF1|=2a－2t.

如图1所示，在△AF1B中，结合余弦定理，可得（3t）2=（2a－2t）2+（2a－t）2－2（2a－2t）（2a－t）×45，整理可得2a2－3at－9t2=0，解得a=3t或a=－32t（舍去）.

所以|BF1|=5t，|AF1|=4t.

设线段AF2的中点为D，在△AF1F2中，结合三角形中线定理有（4t）2+（2c）2=2（|DF1|2+t2）；

在△F1BD中，由三角形中线定理有|DF1|2+（5t）2=2[（2c）2+t2].

消去|DF1|2并整理可得c2=5t2，解得c=5t.

所以椭圆C的离心率e=ca=5t3t=53.故选：D.

点评：同样依托圆锥曲线中的基本量方法，在确定各边之间关系的基础上，合理回归平面几何图形，借助三角形中线定理来分别构建关系式，通过关系式的变形与转化来确定对应边的关系.回归平面几何图形的几何本质，回归“形”的几何特征，从初中平面几何知识来分析与转化，解题的关键就是图形的直观分析，借助直观想象与平面几何的基本性质来分析与推理.

3 变式拓展

3.1 场景变式

根据以上问题及其求解过程，合理从问题的设置场景方式入手，改变条件的设置方式来巧妙进行变式.

变式1 已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦点，C上两点A，B满足：F1F2=13F1A+23F1B，cos∠AF1B=45，则椭圆C的离心率是（" ）.

A.34

B.74

C.23

D.53

变式2 已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦点，C上两点A，B满足：AF2=2F2B，AF1·AB=0，则椭圆C的离心率是（" ）

A.34

B.74

C.23

D.53

当然，除了以上两种不同的问题设置场景及方式，还可以深化问题的实质，创设其他与之相关的场景设置来综合与应用.

3.2 类比变式

挖掘以上问题中的本质与内涵，从椭圆这一特殊的圆锥曲线入手，合理进行类比推理与深度学习，并进行巧妙的变式与拓展.

变式3 已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦点，C上两点A，B满足：AF2=2F2B，cos∠AF1B=45，则双曲线C的离心率是（" ）.

A.54

B.174

C.43

D.173

4 教学启示

解决涉及圆锥曲线离心率的求值或最值（或取值范围）问题，关键在于剖析椭圆或双曲线中对应曲线的实际场景，正确寻找并构建基本量a，b，c所满足的关系式.

而在实际寻找并正确构建椭圆或双曲线中基本量a，b，c所满足的关系式时，往往可以从“数”或“形”两个视角层面来展开.或从“数”的代数视角切入，利用代数思维，结合函数与方程等建立对应的等量关系式；或从“形”的几何视角切入，利用几何思维，结合平面几何图形直观寻找相关图形中的几何关系.