浅谈椭圆离心率的求法

徐学海

【摘要】在解析几何中，有一类题型：关于如何求椭圆的离心率，一直以来困扰着广大考生，很多考生内心都明白，欲求此题，则必先根据题意找出a与c的关系式.可难点在于如何有效地找出这样的等式，为此，笔者通过下面例题，采用一题多解的方法来浅谈如何求椭圆的离心率.

【关键词】离心率；一题多解；等式

例如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且OP⊥AF.若延长AF交椭圆C于点Q，若直线OP的斜率是直线BQ斜率的2倍，求椭圆C的离心率.

解法一（直线与椭圆相交，联立方程组，利用韦达定理来求解）∵A（0，b），F（c，0），∴kAF=-bc.∵OP⊥AF，∴kOP=cb.

AF直线方程：y=-bc（x-c）.设Q（x1，y1），

由y=-bc（x-c），x2a2+y2b2=1，

化简得（b2c2+a2b2）x2-2a2b2cx=0，Δ>0.

∴x1+xA=2a2ca2+c2，∴x1=2a2ca2+c2，∴y1=（c2-a2）ba2+c2.

∴Q2a2ca2+c2，（c2-a2）ba2+c2.

∴kQB=2bc22a2c=bca2.

∵kOP=2kBQ，∴cb=2bca2，即b2a2=12.

由題意可知，e∈（0，1），故e=1-b2a2=22.

解法二（结合本题，利用结论kAQ·kBQ=-b2a2来求解本题）由kOP=cb，

设Q（x1，y1）在椭圆上，且满足x12a2+y12b2=1.

A（0，b），B（0，-b），kAQ=y1-bx1，kBQ=y1+bx1.

∴kAQ·kBQ=y12-b2x12=b21-x12a2-b2x12=-b2a2.

∵kAQ=-bc，∴kBQ=bca2.

∵kOP=2kBQ，∴cb=2bca2.即b2a2=12.

由题意可知，e∈（0，1），故e=1-b2a2=22.

解法三（利用直线AQ与直线BQ的交点Q在椭圆C上建立等式求离心率）AQ直线方程：y=-bcx+b.

∵kOP=cb，kOP=2kBQ，∴kBQ=c2b.

故BQ直线方程：y+b=c2bx.

由y=-bcx+b，y=c2bx-b，，解得x=4b2cc2+2b2y=bc2-2b3c2+2b2，

∴Q4b2cc2+2b2，bc2-2b3c2+2b2.

由点Q在椭圆上得16b4c2a2（c2+2b2）2+（c2-2b2）2（c2+2b2）2=1.

化简得a2=2b2，即b2a2=12.

由题意可知，e∈（0，1），故e=1-b2a2=22.

上述三种解法分别从韦达定理、重要结论、点在椭圆上来建立a与c的关系式.综合比较这三种解法，不难看出，第一种解法是通法，但解题步骤过于复杂且计算量大，很多考生不能准确做出答案.第二种解法主要涉及椭圆这部分内容里的一个重要结论，如果考生能记得该结论，相信会很快完成.第三种解法主要是由结论出发，利用点在椭圆上建立等式，但这种解法大部分考生不易想到且化简计算量偏大，仔细比较之后，对于此类题型的求解，笔者有以下三点想法.

（1）一般情况下，通法是关键，这就要求考生在平时的学习中一定要加强常规方法的训练，不要回避一些复杂的计算.

（2）对于高中数学中的一些重要结论，务必要在理解的基础上加强记忆，以备后用！

（3）对于这一类题目的解题策略要勤思考，多动脑，试着从其他角度解决此题.

【参考文献】

[1]李秉德，李定仁.教学论[M].北京：人民教育出版社，1991.

[4]张奠宙，李士.数学教育学导论[M].北京：高等教育出版社，2003.