单元教学视域下二次函数最值问题的研究

摘 要：随着中考的不断改革，二次函数最值问题又一次成为中考热点题型.在近年中考中，多数学生表示二次函数的最值压轴问题相对于其他问题来说难度更大，且考查重点在于学生对二次函数概念的理解和掌握情况，以及对二次函数图象与性质的分析能力.结合多年教学经验来看，这类题型大多以代数式、顶点坐标、对称轴等形式出现，在此基础上进行数形结合的变式，帮助学生充分理解函数与方程之间的联系.

关键词：单元教学；二次函数；最值问题

在数学教学领域，二次函数最值问题一直是教师与学生的共同挑战，特别是在中考的舞台上，这一知识点更是被赋予了举足轻重的地位.学生需要灵活运用二次函数的性质，结合图象分析，准确找到函数的最值点，这不仅要求学生具备扎实的数学基础，还需要学生具备良好的逻辑思维能力和空间想象能力.［1］在实际教学中，教师可以通过多种方式来帮助学生理解和掌握二次函数最值问题，加深学生对二次函数性质的理解.同时，还要求学生通过大量的练习和案例分析，提高自身的解题能力和数学应用能力.

本文从二次函数最值问题中考考情出发，讨论单元教学视域下二次函数最值问题的教学策略并结合实际案例进行分析.

1 二次函数最值问题中考考情

1.1 二次函数顶点、对称轴、开口方向的考查内容

二次函数的顶点、对称轴和开口方向是求解最值问题的关键要素.在中考中，这些要素通常会被单独或结合在一起进行考查，具体内容如下.

（1）顶点的考查.顶点是二次函数图象的最高点或最低点，对于开口向上的抛物线，顶点是最低点，即最小值点；对于开口向下的抛物线，顶点是最高点，即最大值点.因此，求解二次函数的最值问题，需要先找到函数的顶点.在中考中，可能会出现给定二次函数的一般式或顶点式，要求求解函数的顶点坐标，或者根据顶点坐标判断函数的开口方向等题型.

（2）对称轴的考查.二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，它将抛物线分为左、右两部分，这两部分关于对称轴对称.对称轴的方程是x＝-b2a，其中a和b是二次函数一般式中的系数.在中考中，可能会出现给定二次函数的一般式，要求求解函数的对称轴方程，或者根据对称轴的位置判断函数的开口方向等题型.

（3）开口方向的考查.二次函数的开口方向取决于二次项系数a的符号.当agt;0时，抛物线开口向上；当alt;0时，抛物线开口向下.在中考中，可能会出现给定二次函数的一般式，要求判断函数的开口方向，或者根据开口方向判断函数的最大值或最小值等题型.

1.2 结合图形的考查内容

在中考中，二次函数最值问题往往会结合图形进行考查.学生需要通过观察图形，分析函数的变化趋势，进而找到最值点.这类题目通常会给出二次函数的图象，但也有部分题目要求学生自行画出图象，并根据图象内容判断函数的开口方向、顶点坐标、对称轴方程等关键信息，然后求解函数的最值.［2］

2 单元视域下二次函数最值问题的教学策略

2.1 分析函数与方程之间的关系，寻找最值问题的突破口

教师需要帮助学生分析函数与方程之间的关系，理解函数的最值问题与方程的根之间的关系，从而找到求解最值问题的突破口.教师通过引导学生观察函数图象，分析函数的开口方向、顶点坐标和对称轴等关键信息，帮助学生建立起函数与方程之间的联系，形成解题的思路和方法.

2.2 利用函数图象特征，构建最值模型

在求解二次函数最值问题时，教师可以引导学生结合二次函数的图象特征，对最值模型进行构建，从而提高解题能力.在进行函数图象特征的分析时，教师要注意突出不同点之间的联系，帮助学生将知识进行系统化总结.在对图象进行分析时，可以引导学生关注图象中的交点、最值点等要素，当这些问题得到解决后，学生就可以在此基础上寻找最值模型.常见的几种最值模型如下.

（1）利用函数图象直接观察求出最值.函数图象是函数性质的直观体现，通过观察函数图象，学生可以更清晰地了解函数的变化趋势和最值情况［3］，教师可以引导学生通过分析函数图象的顶点、对称轴、开口方向等特征，构建出最值问题的数学模型，从而简化解题过程，提高解题效率.

（2）利用二次函数图象特征找到解题思路.在求解二次函数最值问题中，教师要引导学生根据二次函数图象特征，选择合适的解题策略，提高解题效率.教师可以通过公式法和待定系数法两种方式引导学生解决函数最值问题.

例题 二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C（0，-5），且经过点D（3，-8）.求此二次函数的解析式及顶点坐标.

解析：利用待定系数法，将点A、C、D代入二次函数解析式，得a-b+c＝0，c＝-5，

9a+3b+c＝-8，解得a＝1，

b＝-4，

c＝-5.

二次函数解析式为y＝x2-4x-5，

即y＝（x-2）2-9，则顶点坐标为（2，-9）.

2.3 强化实践应用，提高学生解决问题的能力

除了以上的教学策略外，教师还可以通过强化实践应用的方式，提高学生解决二次函数最值问题的能力.［4］在实际生活中，很多问题都可以转化为二次函数最值问题来求解，如最优化问题、经济决策问题等.教师可以结合这些实际问题，设计一些具有实际意义的练习题，让学生在解决问题的过程中，加深对二次函数最值问题的理解，提高解决问题的能力.

2.4 立足数学思维，培养学生的最值处理能力

除了以上提到的几种教学策略外，教师还应该注重培养学生的数学思维［5］，帮助学生迅速走入二次函数最值世界.数学思维的培养包括逻辑推理、归纳总结、化归转换等方面，这些都是解决二次函数问题的关键能力.

教师可以引导学生通过归纳、总结来掌握二次函数最值问题的解题规律.在解决了一系列类似的问题后，学生可以总结出一些通用的解题方法和技巧，如面积法、切线法等，高效解决二次函数最值问题，在归纳、总结的过程中还有少部分学生能举一反三，在练习题中提升推理、逻辑能力.

此外，教师还可以引导学生通过化归转换来简化问题.一个复杂的问题往往需要简化步骤变成简单问题后再来解决，这样的解决方式更加高效.在二次函数最值问题中，教师可以通过一些变换，如平移、旋转、切割等，将函数图象转化为更易于分析的形式，从而帮助学生在二次函数图象中找到解题方案.

2.5 学科融合，拓宽学生视野

在教学二次函数最值问题时，教师可以尝试加强与其他学科的融合［6］，以拓宽学生的视野，提高学生的综合应用能力.例如，可以与物理学科中的运动学、力学等问题相结合，还可以与经济学中的最优化问题、社会科学中的决策问题等相结合.通过跨学科融合的方式，既能激发学生的数学学习兴趣，还能帮助学生建立更完整的二次函数知识体系，提高学生的综合应用能力.同时，这也符合当今教育注重跨学科整合的趋势，有助于培养学生的综合素质和创新能力.

3 结语

笔者在单元教学视域下，对二次函数最值问题进行分析和探讨，发现其不仅是对学生基本数学知识掌握情况的考查，更是对学生学习能力的检验.教师在平时教学过程中，要注重对学生基本解题思想和方法的引导，帮助学生正确掌握二次函数最值问题的解题技巧和方法，不断提高学生的数学综合能力.同时，教师也要在日常教学过程中加强对二次函数最值问题的重视，提高教学质量.

参考文献

［1］秦玉.关于二次函数综合题的过程突破与解法探究——以一道面积最值与公共点问题为例［J］.数学教学通讯，2024（2）：86-88.

［2］余叶军，夏玉荣.问题驱动 深度参与 落实素养——以“二次函数应用”教学片段为例［J］.中学数学，2024（4）：34-35.

［3］李卫华.基于视觉化表征的初中代数教学策略研究——以“二次函数性质”教学为例［J］.中学数学，2024（4）：7-9+67.

［4］徐国红.始于教材 显于本质 彰显素养——一道二次函数综合题的命制与思考［J］.中学数学月刊，2024（3）：69-72.

［5］吴阳，王家正.初中数学教材中“二次函数”内容的设计与分析——以“人教版”“康轩版”“singlee版”为例［J］.中学数学，2024（6）：14-15.

［6］罗志英.强化“三个二次”关联，落实数学核心素养——二次函数、一元二次方程、不等式课堂实录［J］.教育科学论坛，2024（10）：39-41.