论类比探究类中考试题的求解方法

摘 要：类比探究是指通过类比的方式探讨数学问题的本质，提炼解题方法.类比探究类题目作为中考试题中有一定难度的思维拓展类题型和高频考点，需要学生牢牢把握结构不变，解题方法不变，以不变应万变的解题策略，日常解题过程中注意发现知识联系，建立知识网络，全面提升数学解题素养．

关键词：类比探究；中考试题；求解方法

类比探究强调从简单到复杂，从已知到未知，通过类比推理逐步深入地解决数学问题.类比探究不仅仅是寻找解题方法，更注重在探究过程中发现问题的本质，从而达到对数学知识的深层次理解．

类比探究类题目作为中考试题中有一定难度的思维拓展类题项和高频考点类型，往往由一类共性条件与特殊条件组合而成，并以四边形为背景命制的几何综合题形式出现.伴随特殊情形到一般情形，或由简单情形到复杂情形的逐步深入，题目所求以阶梯型、多问题的形式给出.具体问题可能表现出由特殊图形到一般图形的典型动态变化过程，需要学生牢牢把握结构不变，即主要条件不变，解题方法不变，以不变应万变的解题策略．

1 解决类比探究问题的一般思路

类比探究在几何综合题中的具体应用一般通过类比字母、类比辅助线和类比思路等方式进行.在此过程中，考生可以有效地解决复杂的几何综合问题.类比字母主要指在解题过程中，通过改变几何图形中的字母标记，发现其中的规律和不变性.例如，给定一个几何图形，通过改变某些关键点的标记，可以发现图形的对称性或其他几何性质.这种方法可以帮助考生在不同条件下找到统一的解题思路.类比辅助线是几何题目中常用的一种方法.通过在图形中添加辅助线，学生可以发现隐藏的几何关系.这些辅助线的添加通常是基于图形的对称性、平行线或角度关系.通过类比之前解题过程中使用的辅助线方法，学生可以更加容易地找到解题的突破口.类比思路是指通过回忆和借鉴之前解决类似问题的思路，来解决当前的问题.这种方法的关键在于找到问题的本质，将已知的问题转化为熟悉的形式，再通过类比之前的解题过程来找到解决方案．

在类比探究过程中，把握变化中的不变特征至关重要.数学中的许多问题，表面上看起来是多变的，但在变化中往往隐藏着一些不变的规律或特征.通过类比探究，这些不变的特征可以被提炼出来，帮助考生迅速找到问题的核心．

类比探究作为解决几何综合题的重要方法，通过类比字母、类比辅助线和类比思路，可以帮助考生从不同角度观察问题，找到隐藏的几何关系，并通过把握变化过程中的不变特征来解决问题，培养数学思维的深刻性和灵活性．

类比探究问题中常见不变特征可以概括为下述两种主要结构，即旋转结构和中点结构.下面结合对具体问题的分析谈谈如何发现这两种结构，并进行针对性的问题解决．

2 “旋转结构”类比探究问题

例题 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC=CF+CD.

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出BC，CD，CF三条线段之间的数量关系．

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．

①请直接写出BC，CD，CF三条线段之间的数量关系；

②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长．

解析：

（1）因为∠BAC=90°，∠ABC=45°，四边形ADEF是正方形，所以AB=AC，AD=AF，∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，所以∠BAD=∠CAF，所以△BAD≌△CAF （SAS），所以BD=CF.因为BC=BD+CD，所以BC=CF+CD （结合图形建等式）.

（2）类比字母找全等，易证△BAD≌△CAF （SAS），类比条件证全等，所以BD=CF.因为BC=BD-CD，所以BC=CF-CD （结合图形建等式）.

（3）①类比字母找全等，易证△BAD≌△CAF（SAS），类比条件证全等，所以BD=CF.因为BC=CD-BD，所以BC=CD-CF （结合图形建等式）.②因为△BAD≌△CAF（SAS），所以∠ABD=∠ACF=135°，所以∠DCF=90°.因为正方形ADEF的边长为22，所以DF=4.又O为DF的中点，所以OC=12DF=OF=2．

点评：类比字母找全等，类比条件证全等是解决类比探究问题最为常用的方法；

结合图形建等式，用等线段转化是类比探究得出正确结论的最基本技能．

3 “中点结构”类比探究问题

例题 已知，在正方形ABCD中，△BEF是以BF为斜边的等腰直角三角形，取DF的中点G，连接EG，CG．

（1）如图4，若△BEF的斜边BF在BC上，猜想EG，CG之间的数量关系和位置关系，并证明．

（2）将图4中的△BEF绕点B顺时针旋转45°，如图5所示，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图4中的△BEF绕点B顺时针旋转任意角度，如图6所示，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

解析：

（1）因为△BEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，所以∠DEF=∠DCF=90°.因为G为DF的中点，所以GE=GD=GF=GC，所以∠DEG=∠EDG，∠CDG=∠GCD.因为∠EGC=∠DEG+∠EDG+∠CDG+∠GCD=2∠EDC=90°，所以EG=CG，EG⊥CG.

（2）由已知得EF∥CD，G为DF的中点，构成平行夹中点.如图7所示，延长EG交CD于H，易证△EGF≌△HGD，所以EG=HG，DH=FE=BE，所以CE=CH，所以△CEH是等腰直角三角形，所以EG=CG，EG⊥CG.

（3）类比辅助线，如图8所示，延长EG到H，使GH=EG，连接CE，CH，延长BE，DH交于点M，如图9所示，易证△EGF≌△HGD，所以DH=FE=BE，∠EFG=∠HDG，所以DH∥EF，所以∠DME=∠BEF=∠BCD=90°，所以∠EBC=∠HDC.又CB=CD，所以△CBE≌△CDH，所以CE=CH，∠BCE=∠DCH，所以∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCH=90°，所以∠ECH=90°，△CEH是等腰直角三角形，所以EG=CG，EG⊥CG．

点评：本例题通过延长线段证明三角形全等，基于中线和高的两线合一证明等腰三角形．

4 结语

类比探究是一种通过结合已有知识来理解新知识的有效手段，也是将不同数学知识和解题方法有机融合的重要方式.通过类比的方式，能够将看似独立的数学概念和题型联系起来，使学生在学习过程中更容易发现知识之间的内在联系，从而在解题时能够灵活运用已有的知识.类比探究不仅简化了数学学习和解题的过程，还帮助学生在类比和归纳的过程中提升自身的思维能力.通过这样的训练，学生不仅能够加深对数学知识的理解，还能发展独立思考和创新的能力，从而全面提升数学素养.类比思想在数学解题教学过程中扮演着不可或缺的角色，能够有效地引导学生建立知识间的网络，帮助他们更好地应对复杂的数学问题.