巧场景创设，妙思维应用

摘 要：函数零点常与分段函数进行知识点的交汇与融合，成为高考命题的一个重要场景.本文结合一道分段函数场景下方程的实根个数问题，探究参数的取值范围，合理变形与转化，结合零点的转化与应用，从不同思维视角切入与应用，归纳总结技巧方法，旨在引领并指导数学教学与复习备考．

关键词：分段函数；方程；零点；图象

分段函数与函数的零点是函数模块中的两个重要基础知识，更是高考数学试卷中的高频考点之一.把函数的零点与分段函数巧妙

融合在一起，充分考查学生分段函数的相关知识以及函数的零点问题.此类题使得两知识点合理交汇，对相应知识与综合知识的考查具有较好的作用，备受命题者青睐，时常在高考试题中“闪亮”登场．

1 问题呈现

问题 ^^［2024年湖南省永州一中高三（下）开学考试数学试卷］amp;amp;已知a，b∈R，函数f（x）=

x，x＜0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0，若方程f（x）－ax－b=0恰有三个不相等的实数根，则（" ）.

A. a＜－1，b＜0"" B. a＜－1，b＞0

C. a＞－1，b＜0D. a＞－1，b＞0

本题以两个基本函数为问题背景，合理设置相应的分段函数，结合对应方程中实数根的个数情况，将问题转化为相应的分段函数与含参的一次函数图象之间的零点个数问题，进而确定对应参数的取值范围．

解决此类问题的关键就是充分挖掘题设条件，建立方程的实根个数与函数的零点个数之间的关系，借助逆向思维来分析参数的取值范围，难度较大．

2 追根溯源

以上问题源自下面的高考真题，借助高考真题中“函数y=f（x）－ax－b恰有三个零点”等价于“方程f（x）－ax－b=0恰有三个不相等的实数根”，以不同的方式来设置，本质一样，进而确定函数综合应用问题．

高考真题 已知a，b∈R，函数f（x）=x，x＜0，

13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0，若函数y=f（x）－ax－b恰有三个零点，则（" ）.

A. a＜－1，b＜0B. a＜－1，b＞0

C. a＞－1，b＜0D. a＞－1，b＞0

3 问题破解

3.1 函数图象思维

将方程恰有三个不相等的实数根进行合理的等价变换，转化为函数恰有三个零点问题，进一步加以等价转化，构建两个不同函数的图象之间恰有三个交点来处理，数形结合合理转化．

方法：函数图象的交点个数法.

当x＜0时，由y=f（x）－ax－b=0可得x－ax－b=0，即x=b1-a，则其最多一个零点，当x=b1-a＜0时才有一个零点.

当x≥0时，y=f（x）－ax－b=13x3－12·（a+1）x2+ax－ax－b=13x3－12（a+1）x2－b，

求导可得y′=x2－（a+1）x.

当a+1≤0，即a≤－1时，y′≥0，此时函数y=f（x）－ax－b在［0，+∞）上递增，则知y=f（x）－ax－b最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a＞－1时，令y′＞0，解得x∈［a+1，+∞），函数y=f（x）－ax－b递增；令y′＜0，解得x∈［0，a+1），函数y=f（x）－ax－b递减.函数y=f（x）－ax－b最多有2个零点.

方程f（x）－ax－b=0恰有三个不相等的实数根，等价于函数y=f（x）－ax－b在（－∞，0）上有一个零点，在［0，+∞）上有2个零点.

如图1所示，由数形结合，可知b1-a＜0且-b＞0，

13（a+1）3-12（a+1）（a+1）2-b＜0，

解得b＜0，1－a＞0，b＞－16（a+1）3，则有a+1＞0，解得-1＜a＜1，故选择答案

C．

点评：此方法用函数图象思维来分析与函数零点情况相关的问题，通过函数图象的位置特征与变化情况来确定各种场景下相应函数零点的情况，往往是数形结合的一个典型应用，也是直观形象解决函数问题的一个重要场所．

3.2 函数零点思维

将方程恰有三个不相等的实数根进行合理的等价变换，结合相应分段函数进行分类讨论与深入研究，利用不同条件下函数零点的个数情况加以有机取舍与判断，从而得以分类讨论解决．

方法1：零点个数讨论法.

由于方程f（x）－ax－b=0恰有三个不相等的实数根，则知函数g（x）=（1-a）x-b，x＜0，

13x3-12（a+1）x2-b，x≥0恰有三个零点.

分别记函数F（x）=（1－a）x－b（x＜0），H（x）=13x3－12（a+1）x2－b（x≥0）.

对于函数F（x）=（1－a）x－b（x＜0），只有当a＜1

b＜0或a＞1

b＞0时，有一个零点.

对于函数H（x）=13x3－12（a+1）x2－b（x≥0），

当x≥0时，由H（x）=13x3－12（a+1）x2－b=0，可得b=13x3－12（a+1）x2=h（x），

由于h′（x）=x2－（a+1）x=x［x－（a+1）］，

当a+1≤0时，即a≤－1，h′（x）≥0，此时函数h（x）在［0，+∞）上递增，且h（0）=0，此时函数H（x）=13x3－12（a+1）·x2－b（x≥0）只有一个零点；

当a+1＞0时，即a＞－1，此时函数h（x）在（0，a+1）上递减，在（a+1，+∞）上递增，且h（0）=0，那么只要h（a+1）=－16（a+1）3＜0，且b∈（－16（a+1）3，0）时，函数H（x）=13x3－12（a+1）x2－b（x≥0）有两个零点.

综上分析，要使函数g（x）恰有三个零点，则要a＞－1，b＜0，故选择答案C．

方法2：零点分析法.

方程f（x）－ax－b=0恰有三个不相等的实数根，等价于y=f（x）与y=ax+b的图象有三个交点，

当x≥0时，由f（x）=13x3－12（a+1）x2+ax，可得f′（x）=x2－（a+1）x+a=（x－a）·（x－1），且

f（0）=0，f′（0）=a，

则当a≤－1时，y=f（x）与y=ax+b的图象不可能有三个交点，排除选项A，B.

若12（a+1）=0，即a=－1，0处为三次零点穿过，不符合条件；

若12（a+1）＞0，即a＞－1，0处偶重零点反弹，此时要满足x=b1-a＜0，则知b＜0，

故选择答案C．

方法3：函数零点存在定理法.

由于方程f（x）－ax－b=0恰有三个不相等的实数根，

则知函数g（x）=（1-a）x-b，x＜0，

13x3-12（a+1） x2-b，x≥0恰有三个零点，

由题意可知，当x≥0时，g（x）至少存在两个零点，

由g′（x）=x2－（a+1）x=x［x－（a+1）］=0，解得x=0或x=a+1，

于是有a+1＞0

g（0）＞0

g（a+1）＜0，解得a＞－1且b＜0，当x＜0时，x=b1-a＜0，解得a＜1.

综上分析，－1＜a＜1，b＜0，故选择答案C．

点评：上述两种方法用函数零点思维逆向分析与函数零点情况相关的问题，往往要依托参数取值情况的分类讨论，结合零点的存在情况、零点的个数情况等相关的信息来分析与处理，给问题的解决创造条件，成为解决问题的关键．

3.3 特殊值思维

将方程恰有三个不相等的实数根，进行合理的等价变换，转化为函数的零点个数问题，以特殊值a=0加以介入，在此条件下讨论对应函数的零点个数问题，再结合参数b的取值情况进行排除法处理．

方法4：特殊值排除法.

取特殊值a=0，此时函数f（x）=x，x＜0，

13x3-12x2，x≥0，

只需要考查y=f（x）与y=b的图象的交点个数即可，

如图2所示，要使得y=f（x）与y=b的图象有三个交点，则知b＜0.

结合各选项中的条件，只有选项C满足条件，故选择答案C．

点评：特殊值思维有一定的投机取巧成分，只是在实际应用过程中，可以很好优化过程，比较简单快速地排除一些不吻合题设条件的答案，给问题的进一步深入研究或判断创造条件，提升直接判断正确性的概率．

4 变式拓展

变式 已知a，b∈R，函数f（x）=x，x＞0，

（x+a）ex+ax，x≤0，若函数y=f（x）－ax－b恰有三个零点，则（" ）.

A. a＞1，b＞0""" B. a＞1，b＜0

C. a＜1，b＞0D. a＜1，b＜0

解析：令函数g（x）=f（x）－ax=（1-a）x，x＞0，

（x+a）ex，x≤0，则问题等价为g（x）=b恰有三个零点．

当x≤0时，g′（x）=（x+a+1）ex．

对于选项A，当a＞1，b＞0时，函数g（x）在（－∞，－a－1）上单调递减，在（－a－1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，此时方程g（x）=b最多只有一个实数根，不合题意.

对于选项B，当a＞1，b＜0时，函数g（x）在（－∞，－a－1）上单调递减，在（－a－1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，此时方程g（x）=b可能会出现三个实数根，符合题意.

对于选项C，当a＜1，b＞0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时方程g（x）=b最多只有两个实数根，不合题意.

对于选项D，当a＜1，b＜0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时方程g（x）=b最多只有两个实数根，不合题意.

故选择答案B．

5 规律总结

破解此类方程的实根个数或函数的零点个数问题有以下两种常规思维方式：①将方程的实根个数或函数的零点个数转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合思维来处理；②直接利用原函数的图象及零点的存在定理来处理.解决此类问题充分体现了函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想以及化归与转化思想，是高考命题中核心素养立意的充分体现与魅力所在．