类比迁移探寻解法 经历生成培养思维

摘要：中考几何压轴题一般涵盖了初中数学的多个几何知识，设置的问题常常层层推进，相互关联，尽管解法多样，但解题思路常可以类比迁移.通过找出已有问题与新问题的类似属性，把已知问题的解题方法迁移到新问题的解决过程中，新问题常常可以迎刃而解.教学中让学生经历几何图形的生成过程，可以帮助学生深层次领悟问题的本质，顺利找到解题途径.

关键词：几何综合；解法探究；类比迁移；提升能力

1 试题呈现

（2022年武汉市四月调考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G.

（1）如图1，求证：△AGE∽△BDE；

（2）如图2，若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD；

（3）如图1，若CDCB＝1n，直接写出AGAC的值.

2 解法探究

对于第（1）问，等腰直角三角形ABC中显然有∠GAE＝∠DBE＝45°，由∠ACB＝90°和EF⊥AD，易得∠AGE＝∠ADC，而∠ADC＝∠EDB，所以∠AGE＝∠EDB，从而△AGE∽△BDE得证.

下面重点对第（2）问和第（3）问的解法作分析.

2.1 构造三垂直图形类比迁移

对于第（2）问，如图3，点G恰好与顶点C重合，我们可以过点B作BC的垂线交CE的延长线于点H.由∠ACB＝90°和EF⊥AD，可知∠CAD与∠ACF互余，∠BCH与∠ACF互余，则∠CAD＝∠BCH，所以△CAD≌△BCH，则有CD＝BH，∠ADC＝∠CHB.又∠ADC＝∠EDB，所以∠CHB＝∠EDB.结合∠DBE＝∠HBE＝45°和BE＝BE，可得△DBE≌△HBE，所以BD＝BH，于是BD＝CD.

对于第（3）问，如图4，把第（2）问中的特殊图形变成一般图形，点G不与顶点C重合，其他条件都没有发生变化，我们可以运用第（2）问的方法类比推理.

过点B作BC的垂线交GE的延长线于点H，延长BC与HG的延长线交于点P.与上面第（2）问的方法对比，由原来的△CAD与△BCH全等，变成了△CAD与△BPH相似，而继续保持△DBE≌△HBE.

假设CD＝1，则CA＝CB＝n，BH＝BD＝n-1.由△CAD∽△BPH，得PBCA=BHCD，即PBn=n-11，则PB=n2－n，PC=n2－2n.又由△PCG∽△ACD，可得CGCD=PCAC，即CG1=n2－2nn，于是CG=n－2，则AG=2.所以AGAC=2n.

第（2）问到第（3）问，由特殊到一般，都通过构造三垂直，运用全等及相似的知识，类比解法加以解决.

继续探究，第（3）问能否构造出与第（2）问类似的全等三角形来解决呢？其实点D从第（2）问的中点平移到一般位置，则点G也从点C处平移到一般位置，可以通过平移把第（2）问中的方法迁移过来，还原第（2）问中的全等三角形.

如图5，过点B作BC的垂线交GE的延长线于点H，过点C作AD的垂线交BH于点I，则四边形CIHG是平行四边形.同理可得△CAD≌△BCI，△DBE≌△HBE.

若假设CD＝1，则BI＝1，CA＝CB＝n，BH＝BD＝n―1，HI＝n―2.又因为四边形CIHG是平行四边形，于是CG=n－2，AG=2.所以AGAC=2n.

这样，通过平移构造出类似第（2）问的三垂直图形，两次全等，很容易得到HI＝n―2，AG=2，问题得解.此方法构图巧妙、计算量小.

2.2 借助对顶角构造等腰三角形类比迁移

对于第（2）问，如图6，可以利用∠ADC＝∠EDB进行分析.延长AC与ED交于点P，发现△ADP是等腰三角形，C为线段PA的中点.再过点A作AC的垂线交DE的延长线于点H.因为∠ACB＝90°，AH⊥AC，所以CD∥AH，于是可得到线段CD是△PAH的中位线，AH＝2CD.

又由第（1）问中△AGE∽△BDE，可以推出∠AEC＝∠BED＝∠AEH，结合∠CAE＝∠HAE＝45°和AE＝AE，由“ASA”判定三角形全等的方法，可推出△CAE≌△HAE，所以AH＝AC.又因为等腰直角三角形ABC中AC＝BC，根据等量代换可得BC＝2CD，即BD＝CD.

对于第（3）问，如图7，点G不与顶点C重合，但是所有在第（2）问中运用的条件属性不变，第（2）问的解法可以直接迁移.

延长AC与ED交于点P，过点A作AC的垂线交DE的延长线于点H，同理可得线段CD是△PAH的中位线，可得AH＝2CD，而△GAE≌△HAE，则AH＝AG.所以AG＝2CD.

假设CD＝1，则AG＝2，CA＝CB＝n.所以AGAC=2n.

2.3 通过平移角构造等腰三角形类比迁移

对于第（2）问，如图8，过点A作AH∥ED交BC的延长线于点H，由于∠EDB=∠AHC=∠ADC，所以△ADH是等腰三角形，又∠ACB=90°，所以C为线段DH的中点，即ＤH＝2CD.

因为AH∥ED，所以DHBD=EABE.由第（1）问中△AGE∽△BDE，可以推出EABE=AGBD.所以DHBD=AGBD，即DH＝AG.又因为Rt△ABC中AG＝BC，所以BC＝2CD，即BD＝CD.

对于第（3）问，虽然问题发生了变化，但是类比第（2）问的方法后，发现条件均未发生改变，方法同样可以迁移.

如图9，过点A作AH∥ED交BC的延长线于点H，同理可得C为线段DH的中点，即ＤH＝2CD；DHBD=EAEB=AGBD，DH＝AG.所以AG＝2CD.

假设CD＝1，则AG＝2，CA＝CB＝n.所以AGAC=2n.

3 教学思考

3.1 分析问题关联属性，类比迁移思维方式

类比迁移是用已有解决问题的方法，根据问题之间的共同特征或相同的推理方法，获得解决新问题的一种重要途径.教学中，通过分析解题方法的类比迁移，并把这种解决问题的思维方式潜移默化地传递给学生，可以有效培养学生的数学思维能力.

在2.1中解第（3）问时，通过平移构造与第（2）问类似的三垂直图形，巧妙构图，类比迁移解题方法，由特殊到一般，通过两次全等轻松得解；2.2中借助对顶角构造等腰三角形类比迁移解题方法亦可得解；2.3中通过平移角构造等腰三角形类比迁移求解.因此，在寻找几何压轴题的解题途径时，常可以分析几个问题之间是否有关联，新问题与前面的问题是否有相同属性，前面问题的解决方法是否可以迁移到新问题的解决过程中.

3.2 经历图形生成过程，提升数学思维能力

培养学生的数学思维，可以让学生先经历几何图形的生成过程.试题主题干的表达是对一个几何图形的直观描述，学生读题后真正能否理解题意，首先要做三个层面的分析：

（ⅰ）“在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC”这句话确定了一个图形“等腰直角三角形ABC”，且∠ACB＝90°，AC，BC是腰；

（ⅱ）“D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB”表达的是点D在腰BC上，点E在斜边AB上，且满足∠ADC＝∠EDB；

（ⅲ）“过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G”描述了过点E作EF⊥AD的作图过程，明确垂足是F，EF与AC交于点G.

至此得到了这个试题对应的几何图形，其中两个直角三角形即Rt△ACD和Rt△AFG有一个公共角，△AGE与△BDE都含有45°角，第（1）问通过找另外一对相等角可证.

教学时，先不把题目提供的图形直接给学生，而是让学生自己通过对用文字语言和符号语言描述的几何图形的理解画出图形，这样学生的思维就参与了图形的生成过程，对几何图形就有了深层次的理解和领悟.学生画出图形后，可以对下面两个层面做进一步的分析与思考：

（ⅳ）“若点G恰好与顶点C重合”说明当点G与顶点C重合时，得到特殊位置的图形（图2），判断点D也具有特殊性，即BD＝CD；

（ⅴ）“若CDCB＝1n，再求AGAC的值”，这里设CDCB＝1n，因为n的值不确定使得问题一般化，回到图1的情况，此时AGAC的值能否确定呢？

这样就生成了试题的第（2）问和第（3）问.在这个过程中，学生的思维活动从对几何图形的感性认识过渡到演绎推理，进而对图形的几何特征的数量和数量关系进行刻画.学生经历了几何图形的生成过程和图形数量关系的分析过程，感悟数学问题的本质，其数学思维得到了提升.

4 结束语

中考几何压轴题问题的设置常常相互关联，逐级递进延伸，类比迁移的方法是解决问题的基本途径.教学中通过渗透类比的解题方法，可以有效培养学生的数学思维.在分析解决问题时，让学生经历几何图形的生成过程，可以获得对问题深层次的理解和领悟，学生的思维活动从对几何图形的直观认识过渡到对问题的推理论证，进而促进数学思维的发展.