圆周角定理及其推论的应用例析

摘要：圆周角定理和它的两个推论，是“圆”这一章中非常重要的理论知识，也是初中几何部分非常重要的内容，在圆与其他知识相结合的综合题中，常能见到它的“身影”.本文中以例题分析的形式探讨圆周角定理及其推论的作用，为教师教学提供更多素材，同时间接作用于学生，帮助他们梳理知识、解决问题.

关键词：圆周角；定理；推论；作用；转化思想

在初中几何部分，有许多重要且经典的定理，它们不仅是中考命题的热点，也在知识网络中发挥着极其重要的基础作用.本文中尝试探讨圆周角定理及其推论的作用，并以例题分析的形式深入剖析、说明，旨在一方面帮助教师拓展知识范围，另一方面间接帮助学生不断巩固新知.

1 圆周角定理及其推论

既然是探究圆周角定理及其推论在初中几何部分发挥的作用，那么首先就要清楚圆周角定理及其推论的内容.

1.1 圆周角定理

圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半[1].需注意的是，此定理中的圆周角和圆心角是同一段弧所对的角.另外，是圆周角等于圆心角的一半，不是圆心角等于圆周角的一半，要准确理解二者之间的关系.最后，不能把“它所对弧上的”去掉，而简单说成“圆周角的度数等于圆心角度数的一半”.运用此定理的前提是圆周角与圆心角所对的弧一定要相同.

1.2 圆周角定理的推论

圆周角定理的推论一共有两个，分别是：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.

推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

需注意的是，推论1一定要在同圆或等圆中，而且推论中的“等弧”是指在同圆或等圆中能够互相重合的弧.如果将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，它们相等或互补.

推论2应用非常广泛，一般地，如果题中有直径，往往作出直径所对的圆周角——直角，推论2也是证明弦是直径的常用方法.

2 圆周角定理及其推论的应用

2.1 求角度

圆周角定理及其推论都与角度有关，所以它可以用来求角度.事实上，在很多有关的问题中，求角度尤为常见.

例1 如图1，A，D是⊙O上的两点，BC是直径.若∠D=34°，则∠OAC等于（" ）.

A.68°"""" B.58°

C.72°D.56°

分析：∠B和∠D都

是AC所对的圆周角.

所以，根据推论1可求得∠B的度数.再根据△AOB是等腰三角形，可求得∠BAO的度数，根据推论2求得∠OAC的度数.

解：由BC是⊙O的直径，得∠CAB=90°.

∵∠D=∠B=34°，OB=OA，

∴∠B=∠BAO=34°.

∴∠CAO=56°.

故选答案：D.

2.2 求锐角三角函数值

由于根据推论2可证得一个角是直角，也就意味着可证明一个三角形是直角三角形.而锐角三角函数是与直角三角形有关的知识，所以可用圆周角定理及其推论求锐角三角函数值.

例2 如图2，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在

格点上，以AB为直径的圆

经过点C，D，则sin∠ADC的值为（" ）.

A.21313

B.31313

C.23

D.32

解析：如图3，连接AC，BC，则AC=2，BC=3.

∵∠ADC和∠ABC所对的弧都是AC，

∴∠ABC=∠ADC.

∵AB是圆的直径，

∴∠ACB=90°.

在Rt△ACB中，根据勾股定理可以得到

AB=22+32=13，

∴sin∠ABC=ACAB=213=21313.

∴sin∠ADC=21313.

故选答案：A.

2.3 求线段长

由于利用推论2可证得三角形为直角三角形，而直角三角形和勾股定理联系非常紧密，所以可用圆周角定理及其推论求线段的长[2].

例3 如图4，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=∠ADC，BD平分∠ABC.若AB=3，BC=4，求BD的长.

解析：如图5，连接AC，过点C作CH⊥BD于点H.先根据

推论2证得∠ABC=∠ADC=90°，然后根据勾股定理计算AC的长为5，再证得△ADC是等腰直角三角形，并求出DA，DC的长为522.同理证得△BHC是等腰直角三角形，并求得BH，CH的长为22，进而得BD=722.

2.4 进行证明或说理

学以致用是学习知识的目的.所以，学习圆周角定理及其推论后，可用它们进行证明或说理，甚至可解决一些难度较大的综合题.

例4 如图6，BC是半圆的直径，圆心为O，P是半圆弧的中点，A是BP的中点，AD⊥BC于点D，连接AB，PB，AC，BP分别与AD，AC相交于点E，F.

（1）求证：AE=BE；

（2）小李通过操作发现CF=2AB，小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系.

分析：（1）根据圆周角定理推论可求出∠BAC=90°=∠ADC.

易得出∠BAD=∠ACB，再结合点A为弧BP的中点F，即可证得AE=BE.（2）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可证得CF=2AB.

（1）证明：

∵BC是直径，AD⊥BC，

∴∠BAC=∠ADC=90°.

∴∠BAD=∠ACB.

∵A为弧BP中点，

∴∠ABP=∠ACB.

∴∠BAD=∠ABP.

∴BE=AE.

（2）解：小李的发现是正确的，理由如下：如图7，延长BA，CP，交于点G.

∵P为半圆弧的中点，BC为直径，

∴∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC.

∵∠PCF=∠PBG，

∴△PCF≌△PBG.

∴CF=BG.

∵BC为直径，

∴∠BAC=90°.

∵A为弧BP的中点，

∴∠GCA=∠BCA.

∵AC=AC，

∠CAB=∠CAG=90°，

∴△BAC≌△GAC.

∴AG=AB=12BG.

∴CF=2AB.

3 结语

综上所述，圆周角定理及其推论作为初中数学几何部分非常重要的理论知识，学好它至关重要，对提升学生解决问题的能力很有帮助.同时，它的应用体现在多个方面，教学中应呈现不同类型的问题，让学生多参与思考，多探究其解法.如此一来，对培养学生的思维灵活性具有积极作用.

参考文献：

[1]王海燕.圆周角定理及其推论中一类典型问题的延伸[J].中学课程辅导（教师教育），2019（18）：67，69.

[2]华心昀.圆周角定理及其推论的证明和应用[J].新高考（升学考试），2017（10）：47-49.