借助几何直观，培养核心素养

摘要：几何直观是初中阶段数学核心素养的重要表现.对初中数学知识进行梳理，寻找几何直观与数学知识的契合点，探寻相关的教学策略，对提高教学质量、助力核心素养培养意义重大.文章基于对几何直观内涵的理解，从“感知与分类图形，绘制与分析图形，立足“形”“数”联系搭建模型，借助图表分析、探索解决问题”四个方面展开论述，力求为核心素养培养提供参考.

关键词：初中数学；几何直观；核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）明晰了数学课程要培养的核心素养，给出了核心素养的内涵及表现，给核心素养培养工作的真正落地提供了理论指引.对于几何直观，《新课标》指出“几何直观主要是运用图表描述和分析问题的意识与习惯”，而意识与习惯的养成是漫长的，应渗透至教学实践各环节，需长久坚持.

1 几何直观内涵的理解

《新课标》以表格的形式列出了核心素养的主要表现及内涵.对于几何直观，给出对应概念的同时从四个维度提出学习要求.四个维度由浅如深，从对图形的基本认识逐渐提高要求至运用图表解决问题.对几何直观的内涵从以下方面加以理解.

其一，体现数学学科特点.数学是一门古老且对人类社会发展起着重要推动作用的学科，研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念，涵盖代数、几何两个重要分支.初中数学将两个分支的内容混合编排，表明代数与几何两个分支的地位不分伯仲.其中几何直观重点强调学习几何知识的必要性，凸显几何知识的价值，一定程度上体现数学学科特点.

其二，关注几何知识的学科内运用.几何直观内涵中对图形的描述无论是“感知”“分析”，还是用于“构建直观模型”，均围绕“图形”展开，强调用于分析数学学科内的问题，需要学生深入理解、扎实掌握几何知识.

其三，重视知识的实际应用价值.数学知识来源人类的生活实践，又为人类的生产生活提供服务.为此，几何直观内涵中对“图形”的高层次要求是解决实际问题，这表明仅仅借助“图形”等一些几何知识解决学科内的问题是不够的，还应能够面向解决人类生产生活中的问题.

2 借助几何直观培养核心素养的策略

借助几何直观进行学生核心素养的培养需要从整体上对初中几何知识进行梳理，明确不同教学内容与核心素养的关联，灵活运用多种授课策略，实现几何知识传授与核心素养培养活动的同步进行.

2.1 感知与分类图形

感知与分类图形是几何直观的内涵构成.解读《新课标》可以看出，其中的“感知”对象包括几何图形以及几何图形的构成元素两个方面.前者强调对几何图形的整体认识，后者关注对几何图形细节的把控.分类图形顾名思义，按照一定的规则对图形进行归类.具体而言，需要明确图形的“同”与“不同”，从而将图形归类到不同的类别中.由此可见，分类图形建立在对图形特征深刻认识与把握的基础之上.

教学中，对图形的感知可以通过对生活中常见实物轮廓的提炼，借助多媒体技术展示加以实现，指引学生从生活中抽象、获取几何图形特征，建立对几何图形的初步认识.这种借助信息技术手段实现“真实实物”向“几何图形”的自然过渡，既给学生感知图形带来思路上的参考，也增强了学生的课堂学习体验.当然，不同的几何图形在构成元素及构成元素的数量上存在一定差别.对图形构成元素的感知，仍然可以借助多媒体技术实现，也可以通过要求学生绘制、对比几何图形，动手制作几何图形模型来完成.事实上，学生对几何图形及其构成元素深入感知的过程，就是学习以及获得知识的过程.对于几何图形的分类，可以借助相关的习题训练、几何图形模型的分类等来实施.

“几何图形初步”教学中，可以要求学生联系生活中常见的实物，并在屏幕上进行展示.同时，通过对实物点、线、面等构成要素的提炼，绘制出其轮廓，如图1所示.

对生活中实物的点、线、面进行提炼，形成相关的立体图形.观察可知，立体图形的共同点是都由点、线、面构成，不同的是点、线、面的数量以及面的形状.就面而言，有的是平面，有的是曲面.以此为基础，要求学生继续联想生活中哪些实物的轮廓与图1中的立体几何图形对应，要求学生填写表1，检验学生能否对立体图形进行正确分类.

2.2 绘制与分析图形

几何直观要求“根据语言的描述画出相关的图形，分析图形的性质”.众所周知，画图是数学学习需要掌握的一项基本技能.“画图”看似简单，实则包含对“语言的描述”的正确理解以及图形的精准输出.其中的“语言”主要指一些数学术语，包括数学概念、数学符号等.理解和掌握初中数学术语既是学习活动的基本要求，也是画图的前置条件.“图形的精准输出”关键词是“精准”，要求运用正确的画图工具、合理的画图思路，将图形更加准确、美观地呈现出来，如此才能为分析图形性质奠定良好基础.

初中数学中涉及的图形非常之多，主要有线段、射线、三角形、平行四边形、菱形、矩形、函数图象等.教学中，教师既要重视图形概念、性质的讲解，又要指引学生做好图形的纵横向对比，厘清不同图形之间的区别与联系及图形之间的所属关系.如矩形、菱形以及正方形都可看作特殊的平行四边形，均可由平行四边形演变而来.对比矩形、菱形以及正方形的区别，即为纵向对比；而将三角形、平行四边形的相关元素加以对比，即为横向对比.另外，理解、掌握数学术语是正确绘制图形的关键，教学中可以要求学生养成善于运用表格、思维导图、概念图等工具的习惯，对所学的图形知识进行归纳、整理，形成知识网络，系统掌握相关的数学术语.不仅如此，为使学生能够“精准”地画出相关图形，应把握课堂教学契机进行画图技巧的传授，通过预留空白时间要求学生加强自主训练，熟练掌握常用的基本作图思路，不断巩固学生的画图技能［1］.

“尺规作图”是初中数学的重要知识，要求使用无刻度的直尺和圆规作图，既能提供作图的机会，又能很好地激活思维，锻炼作图能力.该部分内容教学中，应明确尺规作图的特点，认真分析适合尺规作图的情境，尤其在例题讲解环节，注重提高例题难度，激励学生先进行作答，通过“先做后讲”，指引学生把握作图细节，精准作图.

例 已知A，B，C，D为平面上的四个点，如图2.根据要求画图（保留作图痕迹），并回答问题.

（1）连接CD，作直线AB；

（2）作射线BC，并在射线BC上找一点F，使得CF=CD；

（3）在线段BD上寻找一点O，使得其到A，B，C，D四点的距离之和最短，说明作图理由.

该作图题中的第（1）问较为基础；第（2）问的难度也不大，只需以点C为圆心，CD的长为半径画弧，弧和射线BC的交点即为F.第（3）问在作图时可以简化成寻找到已知两点距离最短的点，显然两点之间线段最短，以此便可以明确作图思路，连接AC和BD，交点即为O.如图3所示.

课堂上，教师可以通过提问的方式要求学生阐述三个问题的作图思路，思考三个问题分别考查哪些基本作图知识.而后再进行作图过程的讲解，强调作图的关键以及注意事项等.

2.3 立足“形”“数”联系搭建模型

“形”与“数”是描述、分析问题的两个不同视角，在逻辑上有着紧密的联系.基于二者的关系，融合数学学科特征形成了数形结合思想、数形结合方法.从“形”与“数”的内在联系出发，构建数学问题的直观模型，不仅可降低对数学问题的理解难度，使得数学问题变得易于解决，而且与几何直观的内涵相一致.

实践发现，学生不擅长分析抽象的问题，这与他们的认知水平较低不无关系.而将抽象的问题转化为可视化的直观情境，更容易引发学生思考的兴趣与热情，使得问题得以创造性的解决.认识到这一点，教学中要增强学生对“形”“数”关系的深刻认识，提升“形”“数”的应用意识.具体到实践中，教师应注重“形”“数”关系理论的自学，从“形”“数”角度审视相关的教学内容，探寻更为简便、高效的教学方法.不仅如此，教师还应通过参与教研活动，吸取他人在“形”“数”应用中的成功经验，实现自身应用水平的针对性提升.另外，立足“形”“数”联系展开教学，一般通过构建直观模型来实现，以提升学习体验，使学生更好地理解数学问题的本质，促进其以后更好的迁移应用.教学中，教师既要给学生预留充足的思考时间，又要给予学生模型构建过程的启发，使学生自觉探寻数学模型的构建思路，通过不断的思考、尝试画出直观的图形，得出模型结论.当然，得出模型结论后，指引学生继续深入思考，总结构建直观模型的关键点，包括寻找哪些特殊的点、线段、角度等，使学生能够真正理解.

例如，“圆”知识教学中，可以围绕以下问题构建几何直观模型：如图4，已知AB为圆O的直径，长为8，点M在圆O上，且∠MAB=20°，N为弧MB的中点.点P在AB上运动，若MN=2，则△PMN周长的最小值为.

△PMN由PM，PN，MN构成，其中MN已知，解题的关键在于求PM，PN的长.因点P的位置不固定，直接求解的难度较大.课堂上可以引导学生回顾所学的最短路径知识，通过寻找对称点构建直观模型将问题变得直观、易解.如图5，

作点N关于AB的对称点N′，连接MN′，与AB交于点P，此时△PMN的周长最短.连接AN′，ON′，PN.

由构建的几何直观模型，结合已知条件、圆的性质，容易得到△MON′为等边三角形，又PN=PN′，则PM+PN=MN′=4，△PMN周长的最小值为4+2=6.

教学中，通过与学生一起构建直观模型，既可以帮助学生顺利找到解题突破口，又能给学生带来启发，使其在以后遇到图形的最值问题能够通过作对称点构建直观模型加以解决.

2.4 借助图表分析、探索解决问题

图表是一种记录数据的常用工具.随着社会的发展，图表的样式越发丰富，如条形图、扇形图、折线图、直方图等，不同的图表给人们带来的视觉效果不同，而且呈现的数据规律也存在一定差别.这些图表给人们分析数据带来更多的选择.《新课标》将运用图表分析、解决问题纳入几何直观的内涵之中，凸显了图表在初中数学学习中的重要地位.

初中数学“数据的收集、整理与描述”以统计学知识为背景对相关图表进行了较为系统的介绍，帮助学生真切地感受图表在人们生产生活中的重要价值.教学中，应注重以实际的问题情境为切入点对图表知识进行系统讲解，与学生一起剖析不同图表的形状、展现数据的特征，通过建立数学知识与实际情境的联系彰显图表价值，加深学生对相关概念的理解，激发学生的学习动力.为更好地体现图表的工具性，增强学生运用图表分析、解决问题的意识与能力，应在做好典型例题讲解的基础上及时进行课堂训练，给学生提供表现自我、应用所学知识的机会.

例如，统计知识教学中，完成条形图、扇形图等知识讲解后，教师可以展示以下习题，要求学生尝试作答：为了解某校学生参加知识竞赛的成绩情况，选取部分学生的成绩制作出对应的统计表与统计图，如表2与图6.请回答相关问题.

（1）求b的值以及抽取学生的数量；

（2）求扇形图“C”对应的圆心角的度数；

（3）补全直方图；

（4）若该校共有1 200名学生参赛，并且成绩在80分（包括80分）以上为“优秀”，求全校成绩“优秀”学生的数量.

该习题数据呈现的方式有表格、直方图以及扇形图，综合性较强，考查了学生的读图、识图以及运用统计学知识分析问题的能力.作答该题需要掌握频数的概念、直方图中横轴与纵轴表示的含义、扇形图的构成特点，理顺图表中数据之间的逻辑联系，通过图表的相互对照分析出答案.对于（1），b的值可从直方图中直接看出为8，对照直方图、扇形图可以看出90～100分的频数为14，对应35%，则可以计算出抽取学生的数量为14÷35%=40（人）；第（2）问较为简单，结合扇形图的结构特点，容易计算出“C”对应的圆心角的度数为108°.对于（3），由抽取人数的数量以及扇形图中“C”部分的百分比可和对应的学生人数为12人，据此将直方图补充完整；对于（4），结合直方图、扇形图得到超过80分（包括80分）学生的百分比为30%+35%=65%，容易求得当学生人数为1 200人时，过80分（包括80分）学生为780人.

该习题在帮助学生复习条形图、扇形图、统计表等知识的同时，增强了学生运用图表分析实际问题的意识.不仅如此，也给学生带来了良好的解题感悟，即，不同的图表展示数据时可以通过相互对照求解未知参数.认识到这一点，在以后解答相关图表问题也就不难找到正确的突破口.

3 总结

为了学生的更好发展，促进我国教育的高质量提升，我国进行了多次课程改革，取得了一定成效.其中，培养核心素养是最新一轮课程改革的显著特点.初中数学教学中，教师应与时俱进，积极响应新一轮课程改革，自觉进行相关文件内容的学习，将核心素养培养纳入教学的重点，注重以几何直观为发力点，通过正确、深入理解几何直观内涵，探寻符合数学学科特点及符合学生学习实际情况的教学策略，并注重教学效果的评估、教学细节的优化.

参考文献：

［1］鲁艳.初中数学教学中几何直观能力培养探析［J］.求知导刊，2023 （31）：95-97.