计数棒：算理与算法有效融合的实践研究

徐英姿

［摘 要］文章通过梳理教材，发现数与代数领域中的常见工具——计数棒，并分析学生的学习起点，把握学生的认知水平，充分利用计数棒设计课堂教学内容，让课堂教学更精准，让学生理解算理更深刻，使学生的计算素养得以提升。

［关键词］计数棒；算理；算法；数与代数

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）14-0046-04

计算不能只是简单的会算和算对，还需要懂得怎么算和这样算的道理。笔者借助计数棒展开课堂教学研究，帮助学生在准确掌握算法的同时深化对算理的理解。

一、理一理：提炼算理的新内涵

算理不能凭空想象，需要借助某种介质进行解释，找到算理的新内涵。

（一）梳理——理解内容编排意图

计数棒在计算起始课程中被多次呈现（如图1）。

计数棒在计算教学中是一个良好的媒介。教材中，计数棒在不同地方的呈现形式不同，代表的意义也不同，有时代表分，有时代表合。不过，教材使用计数棒的作用是一样的，即能清晰地呈现计算的每个步骤，展现每个步骤的算理，从而总结出算法。由此可见，运用计数棒能够促进算理和算法的互通，实现理法共赢。

（二）整理——把握知识内在联系

捕捉学生的现实起点，了解学生当前的知识储备和能力储备（如图2），可以更好地开展算理教学，加大教学力度。

在知识储备方面，学生已经了解了四则运算的概念，明确了加是合起来，减是分出去，乘代表几个几，除代表平均分，并懂得了计算的基本规律，即运算法则。在能力储备方面，学生已经具备了基本的四则运算能力，能轻松地进行口算和笔算，同时能自主操作小棒。

（三）清理——把握学生思维梯度

中段学生的认知发展水平正在由具体形象阶段过渡到抽象运算阶段。中段学生虽然已经具备了一定的认知能力和抽象思维能力，但在学习过程中仍需借助直观形象的图示辅助消化。教师要关注中段学生的认知发展现状，了解学生现阶段的思维梯度，从而设计适合学生的教学内容（如图3），让学生既会算，又能理解其中的算理。

二、精一精：探索算理教学的新路径

在课堂教学中运用计数棒，能让学生初步感知算理、理解算理，并简单运用算理。

（一）精准——定制算理课堂，深度融合

教师在课堂教学中运用计数棒解释算理，能使计算教学课堂充满活力，呈现动态的美感。

1.以“动”替“静”：在课件动态中具象呈现

在课件中利用计数棒将计算过程中的抽象算理动态地呈现出来，能将抽象的算理变得具象化（如图4）。

教学除法时，利用课件动态播放“42÷2”对应的计数棒的分法，能清晰地呈现计算“42÷2”的过程，让学生清楚地感知除法的算理。分小棒的过程其实就是列竖式的过程，动态展示竖式计算的实际过程，能使学生形象地理解每个步骤的算理并内化。

2.以“合”替“散”：在微课整合中高效融入

微课能在相对较短的时间内融入更多的算理知识，丰富解释算理，从而使课堂更高效。教师可以将多个有关算理的散状知识点进行整合并制作成微课（如图5）。

在微课中借助计数棒，用直观的动画和简洁的语言快速地解释算理。计数棒的应用覆盖面广，如多位数乘一位数和多位数除以一位数等，都可以利用计数棒来展示分与合的过程，直观地呈现其中蕴含的算理。

（二）精妙——定制解题思路，深度理解

计数棒与算式的结合是理解算理和掌握算法的关键。那么，如何将计数棒和算式结合起来呢？定制一套实用的图式模板，将图与式巧妙地结合起来，可以完美有效地沟通算理和算法，从而让学生充分理解算理，掌握算法。

1.先图后式——明理型

当一道算式既可以口算，又可以笔算时，教师可以先画出正确的计数棒示意图，再呈现大家都能看懂的数学语言——算式（如图6），让学生清晰明确地认识算理。

先图后式的方法比较适合将抽象的算式具象化。在理解算理的过程中，学生需要先借助图的帮忙，分析清楚计算步骤的来龙去脉，再列出相应的口算式子，从而看明白最根本的算理，掌握算法。上述案例中，口算和笔算共进，在解决“14×3”时，用一幅计数棒图，就既能解释口算过程，又能解释笔算过程，一图多效，使学生对算理的理解更深刻。

2.先式后图——验证型

解释算理时可以先用式子分步进行解释，再利用计数棒验证算理，即先式后图（如图7）。与先图后式相比，先式后图用逆向的解题思路引导学生进行学习，使学生更透彻地理解算理。

对于相对简单的除法算式，很多学生会采用口算的思路进行理解，这时可以利用计数棒验证口算思路中的算理。计数棒的验证是与分步式子配套的，图和算式完美契合，在验证的同时能让学生更深刻地理解算理。

三、拓一拓：增强算理的时效性

计数棒还可以应用于运算律和计算规律等的算理理解和算法掌握中，从而拓宽学生的思路，完善评价体系。

（一）拓宽——承上启下，激增动力

1.拓板块，广方法

在运算律中利用计数棒来解释其道理（如图8），能让学生对算理的理解更透彻，在高段学习更难的算理时就可以得心应手。

上述案例中，根据计数棒的摆法可知，3个12的和加上3个8的和，与3个12加8的和相等。这就说明了乘法分配律的内涵。学生通过直观形象的计数棒，深刻理解了乘法分配律的内涵，灵活掌握了乘法分配律的运用技巧，从而在遇到类似的计算时能快速地迁移知识解题。

2.宽领域，深推理

计数棒还能用于推理和验证一些计算规律。比如研究数的倍数特征时，很多学生都知道2，3，4，5等数的倍数特征，但是并不知道其中的道理。教师可以借助计数棒来进行推理（如图9）。

用计数棒能形象生动地展现出数的倍数特征，让学生吃透其中的精髓，形成深刻的记忆。当要验证16，42等数是否为3的倍数时，学生就能灵活又准确地进行判断。验证更大的数，如100，200等数是否为3的倍数时，学生也能快速地解决。如此，学生便获得了可生长的知识。

（二）拓联——内外兼修，激发毅力

教师可以引导学生利用计数棒将算理内化成解题的思想，形成个性化解题思维，进而迁移应用到其他方面。

1.拓“内部”思维，举一反三

对算理的理解本身就是一种计算思维的体现，学生在学会了用计数棒表示算理的同时，也要运用类比推理，举一反三，用点子图来表示算理（如图10-1、图10-2），将算理融会贯通。

点子图常用于理解多位数乘多位数的竖式，学生经过用计数棒理解算理后，看到点子图时就能轻松理解，并能运用数形结合的思想，在点子图中圈一圈、标一标类推算理。数形结合作为数学中十分重要的数学思想方法，在运用之前更需要具备图式转码的能力。在深刻理解算理后，学生就能将这种思想方法内化为自身的技能，在以后解题答题时自然地运用。

2.联“外部”评价，形成素养

教师用摆一摆、画一画等方式灵活演绎算理，并对算理的理解进行评价（如图11），让算理成为学生自身的计算素养。

在演绎算理时，通过画计数棒来解释“35×2”这个算式的过程，学生就变成了实践者。片段2中，结合课内外探究不同的计算方法，教师用不同的计数棒来呈现，做到了理法之间的融会贯通。借助计数棒，教师引导学生顺其自然地写出“30×2”和“5×2”两个算式，学生从简单的图中清楚地看到计算过程。同时，对学生的实践做出简要的评价，能引起学生对算理的重视。

（三）拓展——明理知法，激发活力

跳出常规的算理运用范围，教师可以将算式和算理结合，给予它丰富多样的情境，使原本枯燥的算理理解变得生动活泼。此外，将算理运用到其他难度更大的式子中，摆脱计数棒，运用图形的面积等来诠释算理，能使数形结合更精彩。

1.拓情境，有“生”有“色”

创建适合图、式子的文字情境关系，将原本没有色彩的算理，在情境的加持下变得五彩缤纷，富有生机。比如“10×11”，这个算式本身只有计数棒和分步式子能赋予它意义，但是加上相应的情境以后，它的内涵会更丰富。

其实看计数棒编情境有点类似语文的看图说话，只不过这幅图是呈现算理的计数棒，需要看懂的是计数棒中藏着的算理是几个几，如此才能编情境，否则就会出现文不对题的情况。同一个乘法算式“10×11”，既可以看成是10个11，也可以看成是11个10，因此需要借助计数棒来阐述算理。从不同的角度看待问题，所编出的情境自然就不同，这样可以练就更高一层的算理理解能力。

2.展运用，有“形”有“数”

其实除了在加减乘除的计算中需要理解算理，很多数学题的理解方法都和算理密不可分。比如在解释完全平方公式的时候，教师往往会将数与形结合起来，让学生从图中展望算理，记忆公式（如图13）。

用图形的面积来解释算理，是不脱离算理本质，在形中找到数的“影子”，用算理与图形结合的方式来解释公式。从图形到算理到公式，算理成为两者的联系。

升级算理的运用，改变只能用点子图、计数棒来表示加减乘除的基本含义的模式，增加了用图形面积来明确公式中的算理的方法，延伸算理的真正内涵，获得了解决计算问题的多种新方法。

总之，在小学数与代数领域中利用计数棒来进行教学，能把算理清晰地呈现出来，从而使学生掌握算法，提高计算能力。

（责编 吴美玲）