运用问题导学 探究概念本质

陈玉丽

［摘 要］数学概念的掌握程度直接影响学生数学思维的发展。在核心素养导向下，初中数学概念教学要走出“说教式”的误区，采取问题导学策略，引导学生把握数学概念的本质。文章以“二次根式”教学为例，探讨问题导学法在初中数学概念教学中的运用策略。

［关键词］数学概念；问题导学；二次根式

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0008-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》特别强调促进学生对数学概念的理解。数学概念是数学学习的基础，如何有效地进行数学概念教学，提高学生的学习效率，是当前初中数学教学面临的重要问题。问题导学法是一种以问题为核心，引导学生主动探究和学习的教学方法，其在多个学科领域都得到了广泛的应用。本文以“二次根式”教学为例，探讨问题导学法在初中数学概念教学中的运用策略，以期为初中数学概念教学提供新的思路和方法。

“二次根式”是苏科版教材八年级下册第12章的起始课，在本章中具有非常重要的地位，是把握本章各类题型的关键突破口。在此之前，学生已经掌握了与“二次根式”相关的一系列概念，如平方根、实数等。因此，在这一节课的教学中，教师运用问题导学法为学生搭建思维平台，使他们主动参与到“二次根式”的学习过程中。

一、借助问题导入，引导温故知新

在初中数学概念教学中，借助问题导入可引导学生温故知新，深化学生对数学知识的理解与应用。因此，教师应灵活运用问题导入法，创设具有启发性的问题情境，引导学生主动思考、分析、解决问题。

在本节课中，笔者这样设计导入环节：

师：上学期，我们已经学习了有关“平方根”的知识，接下来老师要考一考你们，什么数的平方是[25]？[25]的平方根是多少？

生1：±[5的平方是25。]

生2： 25的平方根有两个，一个是[5]，另一个是[-5]。

师：平方与开平方之间存在怎样的关系？

生3：它们之间是互逆的。

师：18的平方根和算术平方根分别是多少？

生4：18的平方根[是±18]，它的算术平方根是[18。]

师：看来这一些问题都难不倒大家。那么，谁能说一说什么是平方根？

生5：可以先假设[x2=a]，则[x]就是[a]的平方根，也是二次方根。

师：现在式子中出现了一个[a]，你能否描述[a]的特征，并说明为什么。

生6：[a≥0]。在之前的规律总结中可以知道任意数的平方都是非负数。

师：现在老师又有一个新问题，正数[a]的算术平方根应该是多少？

生7[：a]。

上述教学环节中，教师所设计的问题逐级深入，目的是引导学生回顾、梳理旧知，为接下来的教学活动的顺利推进奠定基础，为学生后续的学习做好充分的准备。

二、运用问题导学，促进概念形成

概念形成是数学概念学习的重要环节。让学生经历数学概念的形成过程，有利于加深学生对数学概念的理解。问题导学是一种以问题为核心，引导学生主动探究和学习的教学模式。教师通过设置一定的问题情境，引发学生思考和探究。将问题导学应用于初中数学概念教学，可以有效引导学生经历概念的形成过程，提高学生的学习效率。

在本课的第二个环节中，笔者通过问题导学法引导学生经历二次根式概念的探究过程。

1.提出导学问题

问题1：一个正方形的面积为4，它的边长是多少？如果要用带根号的式子进行表示，你认为应该怎么表示？假如正方形的面积为[S]，边长又应该怎样表示？

问题2：一个长方形的面积为10，已知长为宽的2倍，如何求解长与宽？请尝试使用带根号的式子进行解答。

问题3：已知小球的初速度为零，它从距离地面为[h]的高度自由下落，经历时间[t]后到达地面。根据已知条件可以得出[h]关于[t]的数学表达式为[h=5t2]。应该如何表达[t]关于[h]的数学表达式？当[h]分别为0，20，40，55时，[t]分别是多少？同样使用带根号的式子进行解答。

2.引导学生探究

将学生分成小组，每个小组4～5人，每组选择两个问题进行合作探究，小组成员进行讨论和协作，共同完成探究任务。教师巡视指导，提供必要的帮助。

3.组织反馈交流

师：哪一组同学来汇报问题1的探究结果？

生1：一个正方形的面积为4，它的边长为2，也就是[4]。一个正方形的面积为S，它的边长为[S]。

师：你们又是如何解答问题2的呢？

生2：可以先设长方形的宽为[x]，由此可知长方形的长为[2x]，[S长=2x2=10]，进而解得[x2=5]，若使用带根号的式子进行解答，则长为2[5]，宽为[5]。

师：问题3有一定的难度，哪一组同学已经解出来了？请派代表说一说。

生3：想要求解[t]关于[h]的数学表达式，可以根据已知条件将[h]与[t]的位置互换，由此可以得出[t=h5]。当[h]分别为0，20，40，55时，[t]分别为0，[4]，[8]，[11]。

上述教学环节中，借助问题导学的目的就是引导学生对二次根式进行自主探究，促使他们尝试使用带根号的式子进行解答，使他们能够深刻体会一般形式的数字和带根号的数字之间的联系，为接下来的深入学习奠定基础。同时，以问题驱动学生学习，能够更好地调动学生参与学习的积极性，使学生养成良好的独立思考习惯。

三、创设探究平台，探究概念性质

在初中数学概念教学中，教师可借助问题链为学生创设探究平台，使学生在问题层层深入的引导下，不断激发求知欲望，产生创新研究的意识，从而发展数学思维。

二次根式是一个数学表达式，其中包含一个被开方数和一个根号符号。二次根式具有一些重要的性质，这些性质对于几何学、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。

在这一节课中，笔者这样引导学生探究二次根式的性质：

师：通过前面的学习，你现在能说一说[2]的具体意义吗？

生1：[2]可以看成是2的算术平方根。

师：现在有这样一个表达式（[2]）2，你认为应该如何计算？

生2：在计算这个表达式时可以对比算术平方根的意义，我认为[（2）2=2]。

师：请大家继续计算（[4]）2，（[9]）2，（[0.01]）2，（[30]）2。

（学生很快就给出了具体的答案，教师进行相应评价。）

师：那么，你能否尝试列举具有相同特征的其他式子？

（学生在小组内举例验证并交流。）

师：在这些式子中，又存在怎样的规律？能不能用字母进行表示？

生3：我认为可以用[（a）2=a]来表示。

生4：我觉得不对，这里的[a是]有取值范围的。

师： [a的]取值范围是多少呢？

生4：不能是负数。

师：那么应该怎样对这个式子进行完善呢？

生5：当[a≥0]时，[（a）2=a]。

师（板书）：这一式子得以成立的算理是什么？

生6：通过求解算术平方根，我们可以发现它与平方运算是互逆的，而且平方结果都是非负数，所以[a]必然是非负数。

本教学环节是以上一教学环节的概念习得为基础，要求学生完成观察、举例，并自主猜想二次根式的性质，然后进行科学说理，形成深刻理解。为使学生深刻理解二次根式的性质，为学生打开二次根式的性质的探究之旅，教师不断追问，引导学生基于定义推导出重要性质。在这个过程中，学生经历了由特殊到一般的探究过程，自主推导出了二次根式的性质，对二次根式有了更加深刻的理解。

四、进行适度拓展，促进概念内化

在初中数学概念教学中，帮助学生深入理解和内化数学概念是教师的重要任务。然而，由于初中生的认知水平有限和思维能力尚不成熟，要实现对数学概念的深入理解和内化并不容易。因此，教师可以进行适度拓展，以促进学生对数学概念的内化。

教学中，笔者给学生呈现以下题目：给定两个二次根式 [a]和[b]，其中[a]和[b]均为整数，求[a+b]的值。让学生先独立思考，然后在小组内交流。对于这一道题，学生要根据已有的知识进行分类讨论：（1）如果[a]和[b]均为完全平方数，即[a=m2]，[b=n2]，其中[m]和[n]均为整数，那么 [a+b=m+n]。（2）如果[a]和[b]中只有一个为完全平方数，假设[a=m2]，其中[m]为整数，而[b]不是完全平方数，那么[ a+b=m+b]。（3）如果[a]和[b]都不是完全平方数，则可以使用数值逼近的方法来求 [a+b]的值。对于第三种情况，可以引入牛顿迭代法的相关内容，以此拓宽学生的学习视野，为他们的后续学习奠定基础。

适度拓展是促进学生对数学概念进行内化的有效方法。通过提供多样化的教学材料，采用启发式教学方法，对教学内容进行适度深化和拓展，可以帮助学生更好地理解和掌握数学概念，提高他们的思维能力和解决问题能力。因此，教师应根据学生的实际情况，对教学内容进行适度拓展，以促进学生对数学概念的内化。

五、设计层次性练习，引导方法迁移

在初中数学概念教学中设计层次性练习，有助于学生深入理解数学概念，提高他们的理解能力和思维能力。教师可以设计不同类型的练习，有效引导学生运用知识解决问题，提高他们的解决问题能力。在这过程中，教师可以采取及时反馈、多样化教学和强化实践等方法，有效设计层次性练习，提高练习质量。

1.基础性练习

求使下列二次根式有意义的未知数[x]的取值范围。

[x2-3x+4]   [3y-1+1-3y]

[x+4x-4] [y-10=1]

2.变式性练习

（1）已知[x-5+y+9]=0，[yx]的值是多少？

（2）已知[2x+1+3x-2y+（x+y+z）2=0]， [x、y、z]的值分别是多少？

3.提高性练习

已知[a]满足[2003-a+a-2003=a]，求[a-2003]2的值。

上述练习的思维含量丰富，三道练习题的设计关注了三个不同的视角：（1）使二次根式有意义的前提是什么？其中涉及哪些重要知识点？（2）当多个非负数的和为零时，如何确定其取值？（3）如何深挖二次根式的隐含条件，进而计算出正确的结果？

总之，数学概念是数学的基础，也是数学思维的生长点。问题导学法在“二次根式”教学中具有重要的作用，通过问题的引导，可以激发学生的学习兴趣和好奇心，提高学生解决问题的能力。在核心素养导向下，教师要多样化设计概念教学，为学生搭建良好的思维平台，促使学生自主思考、挖掘潜能、发展思维。

［   参   考   文   献   ］

［1］  马霞.初中数学课堂中问题导学法的运用策略［J］.中学课程辅导，2023（21）：39-41.

［2］  黄福君.浅谈问题导学法在初中数学教学中的应用［J］.试题与研究，2023（12）：69-71.

［3］  吴婷.问题导学视角下的初中数学教学方法探究［J］.教师，2023（6）：30-32.

［4］  陈东欣.巧设问题，创建活力四射的初中数学课堂［J］.亚太教育，2022（9）：136-138.

（责任编辑 黄桂坚）