在“破”与“立”中，加深概念理解

梁燕

【摘 要】人教版教材修订后，“倍”的教学在内容编写上发生了较大的变化，面对这个改变，作为承上启下的一个重点和难点，教师应重新审视、对比教材，调查学情，初步厘清“什么是倍”“为什么要教倍”“如何去教倍”，并在此基础上重新定位教学目标，在“破”与“立”中拓展表征概念的空间，重视构建“倍”的认知结构，从而更好地体现和丰富“倍”的内涵。

【关键词】破与立 数学概念 认知结构 模型建构

人教版“倍”的教学将原来分散在二年级上册的内容后移至三年级上册，安排在一个单元进行教学，“倍的认识”看似独立为一课难度降低了不少，但依然是一个难点。因为认识“倍”是学生从“加法结构”到“乘法结构”的一次质的转化，而认知结构的转变是学生学习的最大困难；另外“倍”的概念涉及两个量的比较，十分抽象且不易理解，单纯的告知学生只是停留在模仿阶段，“倍的认识”这节课是学生认识“倍”概念的起始课，从“倍”开始，学生数学认知的脚步算是踏进了“率”的大门，同时这也是一节种子课，这节课概念建构扎实与否将影响本单元解决问题的学习，也为后续学习分数、比、百分数等的内容提供基础模型。如何帮助学生建立“倍”的直观模型，认识“倍”概念的本质特征，如何理解用倍表达数量之间关系的价值和必要性，如何选择学习材料，最终让学生更清晰地建构“倍”的概念，带着这些问题，我们深入理解，重新思考。

一、剖析认知结构，精准设定教学目标

学生为什么需要学“倍”呢？“初步认识”只是停留在初步较浅层面吗？“倍”的知识点在整个教材体系中又有何作用呢？带着这样的思考，我们对教材的例题、习题及复习内容进行研读，也分析不同版本的设计，收集杂志上的文章等，形成了简要的综述，使我们对教材的编排意图与教学目标逐渐清晰起来。

从目前的研究来看，刘加霞教授认为“倍”是从加法结构到乘法结构的转折点。乘法结构不是指单一的认识乘法，而是一个概念体系，基本概念是乘法与除法，与之相关的有倍、最大公因数、最小公倍数、运算律及面积、体积、速度等概念和定律。这样看来，我们既可以从乘法结构聚焦到“倍的认识”，也可以从“倍的认识”辐射到乘法结构。

从众多发表的文章中梳理，我们可以发现许多教师把“倍”看成是刻画两个量之间关系的一种表达方式，其核心是用一个量去刻画另一个量，“倍”代表着两个数量间的比较关系。我们更倾向认为“倍”是刻画两个量之间关系的众多表达方式中的一种，“倍”是学生在刻画两个量之间关系的时候，第一次从绝对数量的比多少到相对数量关系比较的转变，这对学生即将接触到的分数、百分数、比甚至以后的函数等内容的学习，起着至关重要的作用。我们认为这和其他的刻画方式属于不同地位，所以一方面要与众多的刻画方式建立起联系，另一方面又要将“关系系统扩容”，将“倍”特有的刻画方式准确地纳入到表达关系的这一知识体系当中，因此我们在教学中有意识地作了关注。

二、拓展表征空间，合理选择教学方法

有清晰的目标引导，那么我们可以根据倍的概念以及学生的认知结构去选择教学材料了。我们觉得要关注以下几点。

（一）情境的切入需要认知冲突产生不平衡

“倍的认识”一课，人教版教科书则是让学生在用小棒拼摆图形的过程中建立“倍”的概念。在实际教学中，尝试了多种情境创设，教师进一步将教材中的情境转换成各种各样有趣的情境，如以猜数游戏引入，有的利用拍手歌激趣，有的引导学生从动手摆不同颜色的图片中发现数量关系的问题，有的让学生比较不同事物的数量关系或比较物体的长度关系，有的创设挑战三个卡通人物带来的数学问题的情境……多数教师把“倍”看成是刻画两个量之间关系的一种表达方式，因此教师往往从研究关系入手，直接告知学生“倍”的关系。也有教师在教学时先出示3个红圆片、3个黄圆片，问学生两种圆片的数量有怎样的关系，然后增加3个黄圆片，再让学生说一说3个红圆片和6个黄圆片之间又有怎样的关系。学生会最先发现多少的关系，然后教师就过渡到了倍的关系。

我们还尝试了“魔盒”情境，如下图。今天老师还给你们带来了一个魔术盒，想不想看？（出示盒子）这可不是一般的盒子，它可是有魔力的哦！仔细观察，再想一想，如果放进去4个黑圆片，出来的会是什么呢？请你在练习纸上画一画。

像这样黑子有4颗，白子有3个4颗，我们就说白子的个数是黑子的3倍。这就是我们今天要学习的“倍的认识”。

我们认为这样的设计学生试图在寻找规律，创设这样的情境，也不足以使学生打破原有的认知中关于加法的结构。如何设计具有推陈出新的情境达到破与立的效果呢？我们认为让学生的思维结构从加法结构上升到乘法结构，情境需要产生认知冲突，产生了认知需求的不平衡才有利于结构重建（详见第三部分我们的设计）。

（二）建立认知结构需要对比与抽象

“概念形成需要这样的过程，即建立完整表象之后抽象为概念，实现抽象概念后在思维过程中的又能具体再现。”那么比较是我们教学时采用的重要手段。在学生通过动手操作等手段初步认识“倍”后，如何让学生进一步理解“倍”的概念呢？这就需要我们引导学生在不断对比与抽象中，舍弃“倍”的各种非本质特征，在变化中抓住“不变”，而这“不变”就是“倍”的本质。我们在教学中设计多个比较的环节，如“一份数在变，几份数也在变，倍数却不变”等情境，通过比较引导学生逐步明晰和把握概念的本质，使他们的认知和理解不断深入。

三、分析概念“内涵”，科学设置教学环节

据此我们认为，对“倍”的认识，应该是一种的新关系的认识，是对关系概念的扩展，两种量不仅表示数量的相差，还可以表示份数多少的关系，我们要帮助学生完成对“关系”系统的重构。我们厘清了“倍”的定位，站在“关系系统重构”的高度，确定整体的教学方向。

定位了课的教学目标、充实概念理解的材料之后，还得在各环节教学中落实。如何将“倍”的含义分解到新知学习—练习巩固—总结延伸等教学环节形成教学链，我们进行了如下设计。

（一）新知学习环节，破与立中建表象

从认知心理学看，“理解某个东西是指将它纳入一个恰当的图式”。图式就是一组相互联结的概念，图式越丰富，就越能处理相关的变式情境。要让学生建立“倍”的丰富图式，可对“倍”的意义进行如下统整。

这两幅图中隐藏着什么秘密呢？根据前面两幅图的规律，猜猜第二行老师会怎么画呢？有想法了吗？把它画在你的纸上。

反馈交流时，先反馈从比多少的角度画的情况，再着重反馈从“倍”的角度画的情况。以三个承接性的问题“你一圈我们就看懂你的想法，为什么4个一圈啊？现在你发现三幅图中蕴含的一个共同的秘密了吗？3倍，哪里看出都是3倍？”为引导，在寻找共同点中揭示倍概念。抽象出倍模型的环节，是破加法结构后建立乘法结构过程中较为关键的一步，可以这样进行：

框里可以画几个？学生说可以有很多个，只要每个框里一样多。教师追问：第二行拿掉1份，现在是（ ）倍，再拿掉1份呢？增加1份呢，再增加2份呢？现在谁能说说为什么是5倍？学生：第一行有1份，第二行有这样的5份，那么就说第二行的个数是第一行的5倍。

丰富模型建立表象的新知学习统整，我们先破学生认知中的“加法结构”，学生惊奇地发现，还有“份”的关系藏在其中；接着从三幅图中去寻找它们的共同点，让学生认识到三幅图中的数量都是不同的，但是它们之间的关系却都是相同的，再在画一画、圈一圈、指一指、说一说等丰富的活动中让学生初步建构“第一行是1份，第二行有这样的3份”的模型，从而初步建立模型的表象。

（二）核心习题环节，反向构建明标准

概念的核心问题设计，通常要围绕核心知识进行各种变式，在变式训练的过程中，引导学生梳理知识点，通过点、线、面、体，将看似零散的习题组成一个个题组模块，进而在引导学生不断将数学概念知识简约化、模块化、集成化的过程中，逐步完善自己的数学概念认知结构。我们的习题组是这样设计的：

课件出示：圆形的个数是正方形的2倍。

师：一起读一读，能读明白吗？你能不能用一幅图来表示这句话。（学生画图）

从一句话去构建一幅图，这个反向构建的活动是对“倍”概念深化的重要表征。在这个环节中，因为问题情境较开放，学生先要去考虑“1份”（正方形的个数）是多少，再根据“1份”去找“2份”（圆形的个数）。通过“你先画了什么”“你先圈了什么”等问题，让学生知道应该先确定1份数作为参照，再根据1份数去画2份数，让学生感知先确定一份数为标准的重要性，把标准在乘法关系结构中的地位凸显出来。

（三）应用拓展环节，变与不变深化运用

为了让学生有意识地用“倍”的眼光去表达，我们设计数量不同，但是它们之间的关系却是相同的情境。

1.分别说的是哪一幅图

两位小朋友在讨论这两幅图，猜猜他们分别说的是哪一幅图呢？用手势表示。

师：两幅图红萝卜的根数是白萝卜的4倍，你是怎么看出来的？同桌交流一下。

这两位小朋友，你觉得谁说的话最有水平？为什么？

师：红萝卜的根数是白萝卜的4倍，还可以表示红萝卜有几根，白萝卜有几根？

2.把两幅图的意思一起说出来

师：继续接受挑战吗？我们先来看看图的意思，男生有几人？女生有几人？

师：这两幅图的数量是不一样的对吗？想一想你能不能学学刚才聪明的小B说一句话，就能把两幅图的意思都说出来。

师：如果你已经想到了，请你把这句话写下来，如果还不会，请和你的同桌讨论一下。

师：读一读：男生的人数是女生的3倍。

师：你是怎么看出来的，谁上来指一指。

师：很厉害，他先圈了什么？再圈什么？

3.演一演

“男生的人数是女生的3倍”这句话我们现场表示出来，行吗？

A：先请3名女生上来，（思考：这时该上来几位男生呢？）陆续上来3组男生，得出男生是女生的1倍、2倍、3倍。

B：增加1名女生，现在男生是女生的几倍？

C：减少2名女生，现在男生是女生的几倍？

D：剩下一名女生，你能用一句话来说一说吗？

知识点本身是有难度的，变化符合学生学习天性，当学生一听到自己可以创造，学生的积极性被调动起来，显得非常的兴奋。“倍”不是单一的乘法结构，它是乘法意义的拓展与延伸，但同时也包含对除法意义的理解，这无疑会对初次理解“倍”的概念抽取出倍的模型，也很好地运用了模型解决问题。

概念学习是贯穿数学学习始终的，也是一个渐进的过程，只有当学生多角度、多层面地理解了概念，才能够顺利向“形式化定义”的阶段过渡。概念教学任重而道远，我们在设计本课时，在对本课的研究中笔者最大的感触是不能为了教概念而教，而是要清晰地知道概念的来龙去脉，确切把握概念教学课的属性，关注“倍”的产生（比较的需要）、“倍”的意义（亦即内涵）以及获得“倍”概念后的概念运用等。本节概念课设计与创新之处在于，一是在认知结构建立之时采用“先破再立”的手段，使模型更清晰；二是在关注它与后续分数学习的连接点——把谁看作“1份”（标准量）。关注本质，关注联系，综观整体，在“破”与“立”中让概念教学更加扎实而有效。

参考文献：

[1] 刘加霞.从加法结构到乘法结构：“倍”是转折点——评析高丽杰老师的“倍的初步认识”[J].小学教学，2010（7-8）.

[2] 顾晓东.基于已有经验的意义关联——“倍的认识”教学反思与改进[J].小学教学参考，2014（1）.

（浙江省嘉兴市嘉善县第二实验小学 314100）