数列不等式问题常用证明策略

刘辉

［摘 要］文章结合实际问题，对数列不等式问题常用证明策略进行总结分析，以期提高学生的解题能力。

［关键词］数列；不等式；证明策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0028-03

数列和不等式都是高中数学中的重要知识点，近年来，将两者进行综合考查的数列不等式问题逐渐出现在高考试题中。相较于对单一知识点的考查，这种考查方法使得题目更加综合、复杂。解答数列不等式问题，不但要求学生拥有扎实的数列知识，而且要求学生能够灵活运用不等式证明的常用方法。为了帮助学生全面系统地掌握数列不等式问题的证明策略，笔者结合例题对数列不等式问题的常见证明策略进行分析。

一、单调性法

所谓单调性法是指结合“数列通项公式为特殊函数”这一特点，根据函数的单调性，求得函数的最值，进而对不等式进行证明。单调性法主要运用在一侧为常数的不等式证明问题的解答中。在实际的解题中，首先要对数列不等式进行移项，将其视为函数[f（x）]，而后结合函数图象或对函数进行求导，确定函数的单调区间，进而可得函数[f（x）]即数列的最值与常数间的关系，证明不等式。

［例1］数列[an]满足[a1=2] ， [an+1=2n+1ann+12an+2n]。

（1）设[bn=2nan]，求[bn]；

（2）记[cn=1n（n+1）an+1]，证明：[516≤c1+c2+c3+???+cn<12]。

解析：（1）[bn=n2+12]（过程略）；

（2）设数列[cn]的前[n]项和为[Sn]，即[Sn=c1+c2+c3+???+cn]，

由（1）知，[cn=12·n2+2n+2n（n+1）2n+1=12n2+nn（n+1）2n+1+n+2n（n+1）2n+1=1212n+1+1n·2n-1（n+1）2n+1]，故[Sn=1214+18+…+12n+1+1211×2-12×22+12×22-13×23+…+1n·2n-1（n+1）×2n+1=121-12n+1n+2n+1]。

令[f（n）=12n+1n+2n+1]，则[f（n）=12n+11+1n+1]，

分析可得[f（n）]单调递减，所以[f（n）max=f（1）=121+11+21+1=38]，

因为[f（n）>0]，所以[0<12n+1n+2n+1≤38]，故[516≤121-12n+1n+2n+1<12]。

综上所述，不等式[516≤c1+c2+c3+…+cn<12]成立。

本题借助函数的单调性，解题中首先根据[an]的通项公式得[cn]的通项公式，令数列[cn]的前[n]项和为[Sn]，通过计算可得[Sn=121-12n+1n+2n+1]，而后根据[f（n）=12n+1n+2n+1]的单调性，可得[516≤121-12n+1n+2n+1<12]，故得证。

二、比较法

比较法是解答数列不等式问题较为常用的一种方法，与常见解题方法不同，此法主要从不等式的视角切入。通过将不等式进行整理，将其转化为作差与0之间的关系，或者作商与1之间的关系，进而得到不等式的证明结果。

［例2］[an]是由正数组成的数列，[a1=1]，且点[（an，an+1）] [（n∈N*）]在函数[y=x2+1]的图象上。

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）若数列[bn]满足[b1=1，bn+1=bn+2an]，求证：[bn·bn+2

解析：（1）由点[（an，an+1） ][（n∈N*）]在函数[y=x2+1]的图象上可知，[an+1=an+1]，即[an+1-an=1]，又[a1=1]，所以数列[an]是以[1]为首项，[1]为公差的等差数列，故[an=1+（n-1）×1=n]。

（2）由（1）可知，[an=n]，则[bn+1-bn=2n]，又[bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1][=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1]，则[bn·bn+2-b2n+1=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2=（22n+2-2n+2-2n+1）-（22n+2-2·2n+1+1）=-2n<0]，故[bn·bn+2

在本题的第（1）问中，根据题目信息，将点代入函数[y=x2+1]，通过计算可以轻松得到[an=1+（n-1）×1=n]。第（2）问则需要在第（1）问的基础上，得到[bn+1-bn=2n]，而后将[bn·bn+2

三、放缩法

放缩法是解答不等式问题的常用方法，即通过将不等式一侧的表达式进行放大或缩小，通过证明新不等式成立，而后证明原不等式成立。在实际的解题中，首先根据题意将数列不等式进行整理、化简，而后对不等式一侧进行恰当放大或缩小，接着将放缩后的式子与另一侧进行比较，最后借助不等式的传递性证明原不等式成立。常用的放缩法有裂项放缩法、等比放缩法、对偶放缩法、二项式定理放缩法等。在实际的解题中，学生需要结合实际问题灵活运用各种解题方法。

［例3］函数[f（x）=x-1-alnx]，[a=1]时，[f（x）≥0]，设[m]为整数，且对于任意正整数[n]，存在[1+12· 1+122·???·1+12n

解析：因为[a=1]时，[f（x）≥0]恒成立，所以[x-1≥lnx]恒成立，

可知[ln（x+1）≤x]对任意[x∈（-1，+∞）]恒成立，当且仅当[x=0]时取等号。

令[x=12k（k∈N*）]，则[ln12k+1≤12k（k∈N*）]，所以[ln1+12+ln1+122+…+ln1+12n≤12+122+…+12n]，而[12+122+…+12n=1-12n<1]，则[ln1+12+ln1+122+…+ln1+12n<1]，即[1+121+122·…·1+12n

因此，对任意正整数[n]，[1+121+122·…·1+12n

在解题中，利用不等式性质，将[ln12k+1]放缩为[ln12k+1≤12k]，将数列的通项公式转化为等比数列的通项公式[12k]，借助[12+122+…+12n=1-12n<1]，进而可得[m]的最小值为[3]。

四、分类讨论法

在数列不等式问题中，倘若存在参数，学生便可以借助分类讨论法进行解题，即根据参数的不同取值范围，结合题意，对其进行合理的分类，而后借助相关知识证明不同分类下不等式成立，最后对各种情况进行综合，便可得到不等式证明结果。

［例4］函数[f（x）=lnx-kx+1]，[k=1]时，[lnx≤x-1]对[x∈（0，+∞）]恒成立，证明[1+1221+132·…·1+1n21）]。

解析：[k=1]时，[lnx≤x-1]对[x∈（0，+∞）]恒成立，则当[x=1]时，等号成立，所以[x∈（1，+∞）]，[lnx

令[x=1+1n2（n∈N*，n>1）]，代入[lnx

又[n=2]时，满足[1+122=54

当[n≥3]时，

[ln1+122+ln1+132+…+ln1+1n2<14+1212-14+…+1n-2-1n+1n-1-1n+1][=14+1212+13-1n-1n+1<812=23]，

即[ln1+1221+132·???·1+1n2<23]（[n∈N*]，[n>1]），

所以[1+1221+132·…·1+1n21]）。

本题存在参数[n]，在解题中需要对其进行分类讨论。对不等式进行整理，合理放缩可得[ln1+1n2<1n2<1n2-1=121n-1-1n+1]。[n=2]时，满足[1+122=541）]，所以[1+1221+132·…·1+1n21）]。

五、基本不等式法

基本不等式是解答不等式问题的常用方法，在解答数列不等式问题时，同样可以借助基本不等式进行证明，如[a+b≥2ab]、[ab≤a2+b22]等。同时，借助基本不等式，可以对题目进行配方转化、降次转化、化简变形等，进而证明不等式。

［例5］数列[an]满足[a1=a]，[an+1an-a2n=1（n∈N*）]，[bn=ann（n∈N*）]，并且[a=1]，求证：[2≤bn<32（n≥2，n∈N*）]。

解析：当[a=1]时，[a1=1]，则可得[an+1=an+1an，an>0（n∈N*）]，故[an+1≥2an·1an=2]，当且仅当[an=1=a1]时等号成立，

所以[bn+1=an+1n+1≥22=2=b2]，

即当[n≥2]时，[bn≥2]。

由[an=an-1+1an-1（n≥2）]，平方可得[a2n=a2n-1+2+1a2n-1]，即[a2n-a2n-1=2+1a2n-1]，又由[bn=ann≥2]，可得[a2n≥2n]，故当[n≥3]时，可得[1a2n-1≤14]，可得[a2n-a2n-1≤2+14=94]。

由此可得[a2n≤1+（n-1）·94=94n-54<94n]，

进而[b2n=a2nn<94]，即[bn<32（n≥3）]，

又[b2=2<32]，所以[bn<32（n≥2）]。

综上，[2≤bn<32（n≥2，n∈N*）]。

本题借助常用的基本不等式进行解题。借助不等式，易得[a=1]时，[an+1≥2an·1an=2]，可得[bn+1=b2]。由[an=an-1+1an-1（n≥2）]，通过平方，可得[a2n-a2n-1=2+1a2n-1]，即[a2n≥2n]。当[n≥3]时，易证[a2n<94n]，[b2n=a2nn<94]，进而可得[2≤bn<32（n≥2，n∈N*）]。

［例6］数列[an]满足[an+1=an+4an+12+1，a1=32]，求证：[an≤3·2n-1-34]。

解析：由[an+1=an+4an+12+1]，得[2an+1-2an-2=4an+1]，

又[4an+1≤（4an+1）+12=2an+1]，

所以[2an+1-2an-2≤2an+1]，

即[an+1+32≤2an+32]，

所以[an+32≤2an-1+32≤22an-2+32≤…≤2n-1a1+32]，

所以[an+32≤3·2n-1]，[an≤3·2n-1-32]。

本题借助基本不等式，通过对不等式拆项，构造出等比数列不等式，进而解答问题。首先由[an+1=an+4an+12+1]得[2an+1-2an-2=4an+1]，进而可以得到[an+1+32≤2an+32]，最后通过转化可证明不等式[an≤3·2n-1-32]成立。

本文结合实际问题，分析了单调性法、比较法、放缩法、分类讨论法、基本不等式法等在解答数列不等式问题中的运用。在日常教学中，教师要引导学生总结相关问题的解题方法，以保证学生在考试中能够快速解答问题。

［   参   考   文   献   ］

［1］  黎正再.证明数列不等式常用的三种方法［J］.语数外学习（高中版下旬），2023（8）：43-44.

［2］  丁军.例析数列不等式证明常用策略［J］.高中数理化，2023（19）：58-59.

［3］  刘艳.高考数列不等式的证明方法与技巧［J］.数理化学习（高中版），2023（7）：14-16.

［4］  白亚军.求解数列不等式的常见放缩技巧［J］.高中数学教与学，2023（9）：21-22，20.

（责任编辑    黄桂坚）