新课标下数列概念教学探究

梁国平

摘 要：数列是中学数学的重要内容之一。文章从数列的定义、数列的分类和表示法、数列的通项公式、从函数角度理解数列四个方面，就数列概念教学中如何挖掘课本的思想性和科学性进行探究。

关键词：数列；概念教学；思想性；科学性；认知规律

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2016）32-0058-01

数列是按照一定顺序排列的一列数，是中学数学的重要内容之一。下面对在数列概念教学中如何挖掘课本的思想性和科学性进行研究，通过把课本内容加工成鲜活的知识探索过程，为学生的学习方法提供一个良好的示范。

一、数列的定义：认知新事物的一般方法

（1）举例子。举例的过程往往是抓住事物本质的过程，而且所举的例子是进一步讨论的基础。例如，正整数按从小到大的顺序依次排成一列：1，2，3，……，n，…… 2的1次幂，2次幂，……按从小到大的顺序依次排成一列：2，4，8，……，2n，……人民币的面额按从大到小的顺序依次排成一列（单位“元”）：100，50，20，10，5，2，1，0，5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01。12的约数按从小到大的顺序依次排成一列：1，2，3，4，6，12。（2）抓特征。通过举例，同学们发现，数列是由数构成的。有无穷项的，有有限项的；有单调递增的，有单调递减的；有摆动的，有常数列；有规律性很强的，有规律性不明显的。这些显然不是本质的东西，真正本质的是把数按顺序排成一列。（3）下定义。按照一定顺序排列的一列数，叫数列。抓住本质后，下定义很自然，很顺畅。在这个过程中，学生的学习体验非常重要。教学过程中，切忌缩短学生对知识形成过程的经历。通过经历学习过程，学生不仅得到数列的概念，同时学会了认识新事物的一般方法，即举例子、抓特征、下定义，掌握了进一步学习的方法。教材对这个知识进行了完美的展现，教师只需把它加工成鲜活的过程即可，由此学生认识了数列，提高了数学思维能力。

二、数列的分类和表示法

有了数列，就要对它进行分类和管理。分类的目的，还在于对数列的本质的认识。要让学生见到各种各样的数列，有无穷项的，有有限项的；有单调递增的，有单调递减的；有摆动的，有常数列；有规律性很强的，有些规律不明显的。对于规律不明显的数列，要注重对学生从实际问题抽象出数列模型的能力的培养。比如数列{an}这个记法，学生容易产生与数集的联系。要解决这个问题，就要引导学生从集合的元素的性质出发去考虑。数列的项和数集的元素都具有确定性。数列的项是有序的，而数集的元素是无序的；数列的项可重复，而数集的元素是互异的。所以，数列和数集有本质上的不同。这样的解答，解决了学生无从下手的问题，为考虑这类问题提供了示范。

三、数列的通项公式：解决这一类问题的一般方法

求数列的通项公式是发现规律、利用规律的过程。学生对已知的常见数列的通项公式要相当熟练，以此为基础，考虑新的数列。比如求数列1，3，6，10，15……的通项公式，在学生已知数列2，6，12，20，30……的通项公式an=n（n+1）的基础上，发现这个数列是各项除以2以后变成的新数列，从而得到an=n（n+1）/2。再如，要求数列5，55，555，5555……的通项公式，这个数列的规律很容易发现，但用式子表示不容易。但知道 10，100，1000，10000……的通项公式an=10n，进而知道9，99，999，9999……的通项公式an=10n-1、1，11，111，1111……的通项公式an=■（10n-1）、5，55，555，5555……的通项公式an=（10n-1）。教师把解决这一类问题的一般方法教给学生，让学生沿着这样的思路去思考，也就是通性通法。以已有的知识为根据，推求新知识，这本身就是很重要的一种科学方法。要告诉学生切忌凭空乱想，这也是从聪明向智慧转化的过程。

四、从函数角度理解数列：概念是思考问题的根

数列的项和项数之间的对应关系是不是函数，要根据函数的定义来判断。符合定义是，不符合就不是，很容易判断。既然是函数，不是学过渗透数列是解决离散现象的一类数学模型么？学生感到这是一类特殊函数。特殊在哪儿？要回答这个问题，从函数的三要素着手考虑，学生就容易发现定义域特殊。定义域是正整数集或其有限子集，而且自变量的取值也特殊，自变量按从小到大的顺序依次取值，从而数列可以看作自变量在正整数集（或其有限子集）上按从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数的值。这个过程变得很自然，体现了利用概念进行判断的科学思维方法。因此，面对新问题，学会思考，教师切忌代替学生思维，或者认为很简单，教师就直接给出结论。其实认为很简单的知识，在学生那里可能就是一个很大的难题。

五、结束语

总之，在数学教学过程中，要让学生充分体验数学知识的形成过程，尽可能地让学生经历观察、分析、猜想、比较、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索的过程，鼓励学生说出各种可能的设想和猜测，不要怕犯错误。人们的认识本身就是经历猜测、错误、修订、改正，才能形成正确的认识。在教师的指导下，学生收获“自己做出来的数学”，这种亲身经历和体验非常重要，能为学生以后适应社会发展、解决新问题做好必要的准备。教材在这方面进行了完好的呈现，教师要充分挖掘教材的思想性和科学性，激活学生的学习兴趣，提高学生的数学能力，为学生成长成才奠定基础。

参考文献：

[1]陈纪华，陶华.等差数列概念的引入教学设计与反思[J].中学数学月刊，2012（10）.

[2]王悦.浅议“数列极限”概念教学[J].吉林省教育学院学报，2010（02）.

[3]白晓洁.新课标下高中数学数列问题的研究[D].河南师范大学，2013.