利用绝对值解决分类讨论问题探讨

贾晓菲

［摘 要］利用绝对值可以有效避免分类讨论的麻烦。文章结合具体例题，说明如何利用绝对值解决分类讨论问题，以帮助学生学习运用绝对值的方法，提高学生的思维品质。

［关键词］绝对值；分类讨论；坐标系

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0022-03

解决平面直角坐标系中有关的问题，时常用分类讨论的方法。分类讨论有时会比较麻烦，而利用绝对值可以有效避免分类讨论的麻烦。本文结合具体例题说明如何利用绝对值解决平面直角坐标系中的分类讨论问题。

一、与三角形面积有关的问题

计算一次函数图线所在平面的三角形面积问题时，一般需要作平行于[y]轴的直线，这条直线被两条一次函数图线所截得的线段长等于两个函数表达式差的绝对值。计算二次函数图线所在平面的三角形面积问题时，一般需要过抛物线上一点作[x]轴的垂线，这条垂线段的长就是这点纵坐标的绝对值。

［例1］如图1所示，在平面直角坐标系中，点[A（2 ，2）]，点[C0，43]，直线[AC]交[x]轴于点[B]。（1）求直线[AC]的表达式和点[B]的坐标；（2）在直线[OA]上有一点[P]，使得△[BCP]的面积为4，求点[P]的坐标。

解析：（1）过程略，答案：直线[AC]的表达式为[y=13x+43]，点[B]的坐标为[（-4，0）]。

（2）如图2所示，设直线[OA]的表达式为[y=mx]，把[A（2 ，2）]代入得[2m=2]，解得[m=1]，∴直线[OA]的表达式为[y=x]，过点[P]作[PQ]∥[y]轴交直线[BC]于点[Q]，设[P（t，t）]，则[Qt，13t+43]，∴[PQ=t-13t-43=23t-43]。∵△[BCP]的面积[=△CPQ]的面积+[△BPQ]的面积，而△[CPQ]的面积[=12×PQ×OH]，[△BPQ]的面积[=12×PQ×BH]，∴[△BCP]的面积[=12PQ×OB]，∵△[BCP]的面积为4，∴[12×23t-43×4=4]，解得[t=-1]或[t=5]，∴点[P]的坐标为（-1，-1）或[（5，5）]。

评注：点[P]在直线[OA]上运动，采用分类讨论的方法时，需要分为点[P]在点[A]的上方和点[P]在点[A]的下方两种情况。当点[P]在点[A]的上方时，如图3所示；当点[P]在点[A]的下方时，如图2所示。而利用绝对值则避免了分类讨论的麻烦。

［例2］如图4所示，抛物线[y=ax2+bx+3（a≠0）]与[x]轴交于[A（-1，0）]，[B（3，0）]，与[y]轴交于点[C]，连接[BC]。（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点[M]，使△[MAB]的面积与△[ABC]的面积相等，若存在，请求出点[M]的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）过程略，答案：[y=-x2+2x+3]。

（2）存在点[M]，使△[MAB]的面积与△[ABC]的面积相等，理由如下。∵[A（-1，0）]，[B（3，0）]，[C（0，3）]，∴[S△ABC=12AB·OC=6]，∵[S△MAB=12×4×yM=S△ABC=6]，∴[yM=3]，因为点[M]是抛物线[y=-x2+2x+3]上一点，所以设点[M]的坐标为[（x，-x2+2x+3）]，所以[-x2+2x+3=3]，所以[-x2+2x+3=±3]，当[-x2+2x+3=3]时，解得[x=0]（舍去）或[x=2]，此时[M（2，3）]，如图5所示。当[-x2+2x+3=-3]时，解得[x=1+7]或[x=1-7]，∴[M（1+7，-3）]，[M（1-7，-3）]，如图6所示。综上所述，点[M]的坐标为[（2，3）]或[（1+7，-3）]或[（1-7，-3）]。

评注：采用分类讨论的方法，应分为点[M]在[x]轴上方和点[M]在[x]轴下方两种情况，如图5和图6所示。当点[M]在[x]轴上方时，△[MAB]的高就等于点[M]的纵坐标；当点[M]在[x]轴下方时，△[MAB]的高就等于点[M]的纵坐标的相反数。而利用绝对值可以避免分类讨论的麻烦。

二、与线段数量关系有关的问题

与线段数量关系有关的问题，一般表现为两种：一是两条直线被一条竖直直线截得的线段是已知线段的几倍；二是一条直线与一条抛物线被一条竖直直线截得的线段是已知线段的几倍。设出两个交点的坐标，然后用纵坐标的差的绝对值等于已知线段长的几倍，可以避免分类讨论，直接建立绝对值方程即可解决。

［例3］如图7所示，已知函数[y=-12x+b]的图象与[x]轴、[y]轴分别交于点[A、B]，与函数[y=x]的图象交于点[M（2，2）]，在[x]轴上有一动点[P（a，0）]，过点[P]作[x]轴的垂线，分别交函数[y=-12x+b]和[y=x]的图象于点[C、D]。（1）求点[A]的坐标；（2）当[CD=2OB]时，求[a]的值。

解析：（1）过程略，答案：一次函数的解析式为[y=-12x+3]， 点[A]的坐标为[（6，0）]。

（2）把[x=0]代入[y=-12x+3]得[y=3]，∴点[B]的坐标为[（0，3）]，∴[OB=3]，∵[CD=2OB]，∴[CD=6]，∵[PC⊥x]轴，动点[P（a，0）]，∴点[C]的坐标为[a，-12a+3]，点[D]的坐标为[（a，a）]，∴[CD=a--12a+3=6]，即[32a-3=6]，∴[32a-3=±6]，当[32a-3=6]时，解得[a=6]，如图7所示；当[32a-3=-6]时，解得[a=-2]，如图8所示。综上所述，[a=6]或[-2]。

评注：过动点[P]作[x]轴的垂线与两条直线相交，被两条直线截得的线段长等于6的情况可能有两种：一种是在交点[M]的右侧（如图7），另一种是在交点[M]的左侧（如图8），而利用绝对值建立并求解绝对值方程就可以求得全部符合题意的[a]值。

［例4］如图9所示，抛物线[y=ax2+bx-3]与[x]轴交于点[A]和点[B（1，0）]，与[y]轴交于点[C]，连接[AC]，经过点[A]的一次函数[y=kx+c（k≠0）]图象与抛物线的另一个交点为点[D2，533]，点[P]是抛物线上的一动点，连接[AC、CP]。（1）求抛物线[y=ax2+bx-3]的表达式，并直接写出点[A]的坐标；（2）若点[P]位于[y]轴左侧，过点[P]作[PE]∥[y]轴，交直线[AD]于点[E]，当[PE=2OC]时，求点[P]的坐标。

解析：（1）过程略，答案：抛物线的表达式为[y=33x2+233x-3]，[A（-3，0）]。

（2）∵点[P]是抛物线[y=33x2+233x-3]上的一动点，∴设[Pt，33t2+233t-3]，由[A（-3，0）]，[D2，533]得直线[AD]的表达式为[y=33x+3]，∵过点[P]作[PE]∥[y]轴，交直线[AD]于点[E]，∴[Et，33t+3]，∴[PE=33t2+233t-3-33t+3=33t2+33t-23]，∵[PE=2OC]，∴[33t2+33t-23=2×3]，∴[33t2+33t-23=23]或[33t2+33t-23=-23]，解得[t=3]（此时点[P]不在[y]轴左侧，舍去）或[t=-4]或[t=0]（此时点[P]不在[y]轴左侧，舍去）或[t=-1]，∴[P-4，533]或[-1，-433]，如图10、图11所示。

评注：由图10与图11可以看到，即使点[P]是[y]轴左侧抛物线上一动点，当[PE=2OC]时，也有两种情况。而利用绝对值，只用解绝对值方程即可，不用画出图形就可以求出所有的情况，也无须分类讨论。

三、与正方形有关的问题

与正方形有关的问题，当正方形的两个顶点确定而另外两个顶点不确定时，这两个确定点联结而成的线段可能作为正方形的边，也可能作为正方形的对角线，在每种情况下还可能存在多种情况，利用绝对值可以简化解答过程。

［例5］如图12所示，已知抛物线[y=x2+bx+c]的图象经过点[A（1，0）]，[B（-3，0）]，与[y]轴交于点[C]，抛物线的顶点为[D]，对称轴与[x]轴相交于点[E]，连接[BD]。（1）求抛物线的表达式。（2）若点[P]在直线[BD]上，当[PE=PC]时，求点[P]的坐标。（3）在（2）的条件下，作[PF⊥x]轴于[F]，点[M]为[x]轴上一动点，[N]为直线[PF]上一动点，[G]为抛物线上一动点，当以[F]、[N]、[G]、[M]四个点为顶点的四边形为正方形时，求点[M]的坐标。

解析：（1）过程略，答案：抛物线的表达式为[y=x2+2x-3]。

（2）由（1）知，抛物线的表达式为[y=x2+2x-3]，∴C（0，-3），抛物线的顶点D（-1，-4），∴E（-1，0），设直线BD的表达式为[y=mx+n]，∴[-3m+n=0，-m+n=-4，]∴[m=-2，n=-6，]∴直线BD的表达式为[y=-2x-6]，设点[P（a，-2a-6）]，∵[C（0，-3）]，E（-1，0），根据勾股定理得[PE2=（a+1）2+（-2a-6）2]，[PC2=a2+（-2a-6+3）2]，∵[PC=PE]，∴[（a+1）2+（-2a-6）2=a2+（-2a-6+3）2]，∴[a=-2]，∴[y=-2×（-2）-6=-2]，∴P（-2，-2）。

（3）如图13所示，作[PF⊥x]轴于[F]，∴[F（-2，0）]，∵点[M]为[x]轴上一动点，点[N]为直线[PF]上一动点，[G]为抛物线上一动点，以[F]、[N]、[G]、[M]四个点为顶点的四边形为正方形，∴设[M（d，0）]，∴[G（d，d2+2d-3）]，[N（-2，d2+2d-3）]，∵以点[F]、[N]、[G]、[M]四个点为顶点的四边形为正方形，必有[FM=MG]，∴[d+2=d2+2d-3]，∴[d=-1±212]或[d=-3±132]，∴点[M]的坐标为[-1+212，0]，[-1-212，0]，[-3+132，0]，[-3-132，0]。

评注：从图14可以看出，以[F]、[N]、[G]、[M]四个点为顶点的四边形为正方形有四种情况：点[M]在[y]轴左侧且在点[B]左侧；点[M]在[y]轴左侧且在点[B]右侧；点[M]在[y]轴右侧且在点[A]左侧；点[M]在[y]轴右侧且在点[A]右侧，采用分类讨论的方法非常复杂，但利用绝对值，建立绝对值方程，则可以求出所有符合题意的解。

［例6］如图15所示，直角坐标系中，[A]、[B]、[C]、[D]四点的坐标依次为[A（-1，0）]，[B（a，b）]，[C（-1，4）]，[D（c，d）]。若以[A]、[B]、[C]、[D]为顶点的四边形是正方形，写出所有满足条件[b≥d]的点[B]的坐标。

解析：依据题意画出图形，如图16所示。∵[b≥d]，∴点[B]不在点[D]的下方。以[A]、[B]、[C]、[D]为顶点的四边形是正方形分两种情况：当[AC]为正方形的边时，有[a-（-1）=4-0]，且[b=4]，解得[a=3]或[a=-5]，此时点[B]的坐标为[（-5，4）]或[（3，4）]；当[AC]为正方形的对角线时，有[a-（-1）=4-02=2]，[b=0+42=2]，解得[a=1]或[a=-3]，此时点[B]的坐标为[（-3，2）]或[（1，2）]。综上可知，点[B]的坐标为（[-5，4）]，[（3，4）]，[（-3，2）]，[（1，2）]。

综上，利用绝对值可避免分类讨论的麻烦，是一种既省事又准确的策略。

（责任编辑    黄桂坚）