构造全等三角形的基本策略

周道斌

［摘 要］文章结合几个典例，探讨构造全等三角形的基本策略，以帮助学生突破难点，拓宽学生的思维路径，发展学生的核心素养。

［关键词］全等三角形；基本策略；构造

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0025-03

全等三角形是初中数学的核心知识，是证明线段相等、角相等的重要工具，在解决平面几何问题中具有重要作用。那么，如何构造全等三角形呢？下面笔者结合例题进行分析探讨。

一、利用倍长中线法构造全等三角形

当问题中出现“中点”或“中线”时，可以通过倍长中线的方法构造全等三角形，可以将分散的已知条件转化到同一个三角形中，实现问题的解决。

［例1］【问题提出】如图1所示，在[△ABC]中，[AB=6]，[AC=4]，求[BC]边上的中线[AD]的取值范围。

【问题解决】经过组内合作交流，小明得到了如下解决方法：

延长[AD]到点[E]，使[DE=AD]，连接[BE]（如图1），经过推理可知[△ADC ]≌[△EDB]。

（1）由已知和作图得到[△ADC ]≌[△EDB]的理由是                          。

A.边边边 B.边角边

C.角边角 D.斜边直角边

（2）[AD]的取值范围为                   。

【应用】如图2所示，在[△ABC]中，点[D]为[BC]边的中点，点[E]在[AB]边上，[AD]与[CE]相交于点[F]，[EA=EF]，求证：[AB=CF]。

解析：【问题解决】（1）由作图的过程知，[AD=DE]，[CD=BD]，[∠ADC=∠BDE]，则[△ADC ]≌[△EDB]（SAS），故答案为B。（2）∵[△ADC ]≌[△EDB]，∴[AC=BE=4]，在[△ABE]中，[AB+BE>AE=2AD>AB-BE]，即[10>2AD>2]，即[1

【应用】如图3所示，延长[AD]至[H]，使[AD=DH]，连接[CH]，∵[BD=DC]，[∠ADB=∠CDH]，∴[△ADB ]≌[△HDC]（SAS），∴[AB=CH]，[∠BAD=∠H]，∵[EA=EF]，∴[∠EAF=∠EFA=∠CFD=∠H]，∴[CF=CH=AB]，即[AB=CF]。

评注：利用倍长中线法构造全等三角形，将题中的条件集中在一个三角形中，利用“两边之和大于第三边”“两边之差小于第三边”得到[AD]的取值范围，利用“等角对等边”得到[AB=CF]。

二、利用翻折法构造全等三角形

角是轴对称图形，当图形中有角平分线时，沿角平分线所在的直线翻折图形，也会得到全等三角形，进而可以利用已知条件中角之间的关系，推得线段之间的数量关系。

［例2］在四边形[ABCD]中，[AC]平分[∠DAB]。（1）如图4所示，[∠ADC=∠ABC]，求证：[BC=DC]；（2）如图5所示，[∠ADC]与[∠ABC]互补，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由。

解析：（1）证明：∵[AC]平分[∠DAB]，∴[∠DAC=∠BAC]，在[△ACD]和[△ACB]中，[∠ADC=∠ABC，∠DAC=∠BAC，AC=AC，]

∴[△ACD ]≌[△ACB]（AAS），∴[BC=DC]。

（2）（1）中的结论依然成立，理由如下：如图6所示，过点[C]作[CE⊥AB]于点[E]，过点[C]作[CF⊥AD]的延长线于点[F]，∵[AC]平分[∠DAB]，[CE⊥AB]，[CF⊥AD]，∴[CF=CE]，[∠CEB=∠CFD=90°]，∵[∠ADC]与[∠ABC]互补，∴[∠ADC+∠ABC=180°]，∵[∠ADC+∠CDF=180°]，∴[∠ABC=∠CDF]，即[∠CBE=∠CDF]，在[△CBE]和[△CDF]中，[∠CBE=∠CDF，∠CEB=∠CFD，CE=CF，]

∴[△CBE ]≌[△CDF]（AAS），∴[BC=DC]。

评注：利用翻折构造全等三角形是常用的方法，在图4中[△ADC]相当于将[△ABC]沿直线[AC]翻折而得到，在图6中[△ACF]相当于将[△AEC]沿直线[AC]翻折而得到。

三、利用旋转法构造全等三角形

旋转法就是将图形中的某一部分旋转后，使之形成新的图形，不仅旋转前后的两个三角形全等，而且旋转后构成的新图形也有全等三角形，这样可以使分散的条件得以集中，以更好地利用已知条件。

［例3］如图7所示，在正方形[ABCD]中，[E]为[BC]上的一点，[F]为[CD]上的一点，[BE+DF=EF]，求[∠EAF]的度数；如图8所示，[D]为等腰Rt[△ABC]斜边[AB]的中点，[DM⊥DN]，[DM]、[DN]分别交[BC]、[CA]于点[E]、[F]。当[∠MDN]绕点[D]转动时，求证：[DE=DF]。

解析：（1）如图9所示，将[△ADF]绕点[A]旋转90°得[△ABG]，则[△ABG ]≌[△ADF]，∴[∠DAF=∠BAG]，[AF=AG]，[DF=GB]，[∠D=∠ABG=90°]，∵四边形[ABCD]是正方形，∴[∠ABE=90°]，∴[∠ABG+∠ABE=180°]，∴点[G]、[B]、[E]在同一直线上，∵[EF=DF+BE=EB+BG=EG]，[AE=AE]，在[△AEG]和[△AEF]中，[AE=AE，GE=FE，AG=AF，]∴[△AEG ]≌[△AEF]（SSS），∴[∠EAG=∠EAF]，∵[∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°]，∴[∠EAG+∠EAF=90°]，∴[∠EAF=45°]。

（2）如图10所示，连接[CD]，∵[D]为等腰Rt[△ABC]斜边[AB]的中点，∴[CD]平分[∠ACB]，[CD⊥AB]，[∠A=45°]，[CD=DA]，∴[∠BCD=45°]，[∠CDA=90°]，∵[DM⊥DN ]，∴[∠EDF=90°]，∴[∠CDE=∠ADF]，在[△DCE]和[△ADF]中，[∠DCE=∠DAF，DC=DA，∠CDE=∠ADF，]

∴[△DCE ]≌[△ADF]（ASA），∴[DE=DF]。

评注：在图9中，将[△ADF]旋转后，又得到了一组新的全等三角形，即[△AEG]与[△AEF]。在图10中，[△ADF]可以看作是由[△DCE]旋转得到。需要注意的是，只有在图形中存在有共点的相等线段，才能通过旋转法构造全等三角形。

四、利用构造法构造全等三角形

构造法是一种创造性思维，在初中几何图形的处理中，可以通过作平行线或垂线构造全等三角形，进而利用全等三角形的性质与判定解决问题。

［例4］在Rt[△ABC]中，[∠ACB=90°]，[AC=BC]，[D]为[BC]上一点，连接[AD]，过点[C]作[CE⊥AD]于点[E]。（1）如图11所示，过点[B]作[BF⊥BC]交[CE]的延长线于点[F]，求证：[△ACD ]≌[△CBF]；（2）如图12所示，若[D]为[BC]的中点，[CE]的延长线交[AB]于点[M]，连接[DM]，求证：[∠BDM=∠ADC]；（3）在（2）的条件下，若[AE=4]，[CE=2]，直接写出[CM]的长。

解析：（1）∵[BF⊥BC]，[CE⊥AD]，∴[∠AEC=∠CBF=∠ACB=90°]，∴[∠CAD+∠ACE=∠BCF+∠ACE=90°]，∴[∠CAD=∠BCF]，又∵[AC=BC]，∴[△ACD ]≌[△CBF]（ASA）。

（2）如图13所示，过点[B]作[BF⊥BC]交[CE]的延长线于点[F]，由（1）得[△ACD ]≌[△CBF]，∴[∠ADC=∠F]，[CD=BF]，∵[D]为[BC]的中点，∴[CD=BD]，∴[BD=BF]，∵[∠ACB=90°]，[AC=BC]，∴[∠ABC=45°]，∵[∠CBF=90°]，∴[∠FBM=45°]，∴[∠DBM=∠FBM]，又∵[BM=BM]，∴[△BDM ]≌[△BFM]（SAS），∴[∠BDM=∠F]，∴[∠BDM=∠ADC]。

（3）如图14所示，连接[DF]，∵[CE⊥AD]，[AE=4]，[CE=2]，∴[BC=AC=AE2+CE2=42+22=25]，由（2）得[BD=BF]，[CD=BD=12BC=5]，[△BDM  ]≌[ △BFM]，∴[DM=FM]，[AD=AC2+CD2=（25）2+（5）2=5]，∴[DE=AD-AE=1]，∵[∠DBF=90°]，∴[△BDF]是等腰直角三角形，∴[DF=2BD=10]，∴[EF=DF2-DE2=（10）2-12=3]，设[DM=FM=x]，则[EM=3-x]，在Rt[△DEM]中，由勾股定理得[12+（3-x）2=x2]，解得[x=53]，∴[EM=3-53=43]，∴[CM=CE+EM=2+43=103]。

评注：本题通过作垂线构造两对全等三角形，又一次形成了“一拖二”的状况。本题在求解过程中重点利用了等腰直角三角形的性质及勾股定理，可以看出勾股定理在求线段长中的独特价值。

五、利用截长补短法构造全等三角形

截长补短法是初中几何题中一种重要的添加辅助线的方法。截长就是在长边上截取一条线段，使之与某一短边相等；补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起。

［例5］【初步探索】（1）如图15所示，[△ABC]是等边三角形，点[D]是边[BC]下方一点，[∠BDC=120°]，探索线段[DA]、[DB]、[DC]之间的数量关系。

【灵活运用】（2）如图16所示，[△ABC]为等边三角形，直线[a]∥[AB]，[D]为[BC]边上一点，[∠ADE]交直线[a]于点[E]，且[∠ADE=60°]，求证：[CD+CE=CA]。

【延伸拓展】（3）如图17所示，在四边形[ABCD]中，[∠ABC+∠ADC=180°]，[AB=AD]。若点[E]在[CB]的延长线上，点[F]在[CD]的延长线上，满足[EF=BE+FD]，请直接写出[∠EAF]与[∠DAB]的数量关系。

解析：（1）如图18所示，延长[DC]到点[E]，使[CE=BD]，连接[AE]，∵[△ABC]是等边三角形，∴[AB=AC]，[∠BAC=60°]，∵[∠BDC=120°]，∴[∠ABD+∠ACD=180°]。又∵[∠ACE+∠ACD=180°]，∴[∠ABD=∠ACE]，∴[△ABD ]≌[△ACE]（SAS），∴[AD=AE]，[∠BAD=∠CAE]，∵[∠BAC=60°]，即[∠BAD+∠DAC=60°]，∴[∠DAC+∠CAE=60°]，即[∠DAE=60°]，∴[△ADE]是等边三角形，∴[DA=DE=DC+CE=DC+DB]，即[DA=DC+DB]。

（2）如图19所示，在[AC]上截取[CM=CD]，∵[△ABC]是等边三角形，∴[∠ACB=60°]，∴[△CDM]是等边三角形，∴[MD=CD=CM]，[∠CMD=∠CDM=60°]，∴[∠AMD=120°]，∵[∠ADE=60°]，∴[∠ADE=∠MDC]，∴[∠ADM=∠EDC]，∵直线[a]∥[AB]，∴[∠ACE=∠BAC=60°]，∴[∠DCE=120°=∠AMD]，在[△ADM]和[△EDC]中，[∠ADM=∠EDC，MD=CD，∠AMD=∠ECD，]∴[△ADM ]≌[△EDC]（ASA），∴[AM=EC]，∴[CA=CM+AM=CD+CE]，即[CD+CE=CA]。

（3）[∠EAF=180°-12∠DAB]。理由：如图20所示，在[DC]延长线上取一点[G]，使得[DG=BE]，连接[AG]，∵[∠ABC+∠ADC=180°]，[∠ABC+∠ABE=180°]，∴[∠ADC=∠ABE]，又∵[AB=AD]，∴[△ADG ]≌[△ABE]（SAS），∴[AG=AE]，[∠DAG=∠BAE]，∵[EF=BE+FD=DG+FD=GF]，[AF=AF]，∴[△AEF ]≌[△AGF]（SSS），∴[∠FAE=∠FAG]，∵[∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°]，∴[2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°]，∴[2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°]，即[2∠FAE+∠DAB=360°]，∴[∠EAF=180°-12∠DAB]。

评注：不论是截长还是补短，都要形成全等三角形，在获得全等三角形的基础上要“乘胜追击”，扩大战果，继续证得第二组全等三角形或者证明特殊三角形。本题的第（1）（2）小题在全等三角形的基础上得到了等边三角形，第（3）小题在全等三角形的基础上得到了第二组全等三角形。

总之，通过倍长中线法、翻折法、旋转法、构造法、截长补短法构造全等三角形，可以使图形隐含的数量关系或位置关系得以显现，快速地获得相等的线段或者角度，从而为解决问题铺平道路。

（责任编辑 黄桂坚）