探析三角函数教学的新视角

王汉进

[摘 要] 三角函数中有很多值得我们研究的问题，有些问题可以用全新的视角去发现，有些是与不同知识的新结合，以具体问题为例对此进行深入探讨.

[关键词] 三角函数；三角形；向量；全等三角形；编制；应用

三角知识一直是高中数学的重要内容之一，是学习高等数学和应用技术学科的基础，同时也是解决生产实际问题的工具，以三角函数问题为载体的立意新颖的数学应用问题一直受到命题专家的青睐；多年来，三角知识一直是高中学生比较头疼的问题，特别是如何探究任意三角形的边角关系去解决一些日常生活中与测量和几何计算有关的实际问题，本文笔者通过几道典型试题的剖析，旨在阐述对于三角函数和三角变换问题的处理技巧，相信能给读者帶来一定的帮助.

三角函数与三角形在“接触”中升级

以三角函数为载体的解三角形问题，通常是给出三角形的边角关系，求角、边即最值问题，主要考查三角变换能力和正弦、余弦定理灵活运用能力.

说明：通过本题的解析过程可以归纳出处理三角形问题要注意三个方面的问题：①巧用三角形内角和性质与诱导公式的有机结合进行角的转化；②在解题中合理融入三角函数性质；③准确灵活运用正弦、余弦定理进行解题.

三角函数与平面向量因“牵手”而深化

将三角函数问题融入平面向量的知识平台上进行考查的创新题型是近年来出现频率较高的“流行”题型，主要涉及平面向量与三角函数相结合探求三角函数的最值等相关问题.

说明：本题以平面向量知识为平台考查三角函数问题，解题的关键思想是进行数学转化，将此类向量的问题转化为三角函数问题进行求解，常见的转化途径为：①利用向量平行或垂直的充要条件；②利用向量数量积的公式和性质；③利用向量模长公式.

三角形解的个数判别新认识

解三角形是三角函数中一个较难的知识点，从我们大量教学实践来看，求三角形解的个数判别是较难的知识点. 为什么这个知识点不好教呢？很多老师说：我们不是有正弦定理和余弦定理么？书本上不是有图形判别方式吗？用这样的方式就可以解决三角形解的个数. 但从学生解决问题实践来看，完全与我们教师所想的情况不符. 学生在解的个数判别时并不会利用教材图形化的方式去解决，学生为何不选择教材的方式呢？笔者认为第一个原因是教材方式的烦琐性，学生对于图形的使用远没有运算来得方便；第二个原因是更主要的，教材没有把解的判断更好的方式与初中数学中全等三角形的判断联系起来，学生对于初中数学全等三角形判别方式可谓是根深蒂固，试想：为什么三边都明确告知的三角形唯有一解？为什么两边一夹角都明确告知的三角形唯有一解？为什么两角一边都明确告知的三角形唯有一解？为什么两边一对角都明确告知的三角形有可能有多种情况？我们来看如何利用初中固有知识创新解决这一学生痼疾：

说明：回头我们思考这样的创新解决方式，笔者认为初中全等三角形判别方式是学生头脑中已经固有的解决模型，教材另辟蹊径反而显得累赘，我们不妨使用学生已经固有的知识结合新的问题，从全等三角形判别方式（边边边、边角边、角角边）以及大边对大角的三角形性质，让学生轻松地获得了三角形解的个数的判别. 这种基于知识全面性的理解和使用有助于引导学生站在更高的角度审视问题解决新思路，为解决更多问题开拓了新思路.

三角问题的创新编制

学生能解决问题是学习的一种层次，但是从仅仅解决问题、会做题的角度来说，这仅仅是初级层次.可以这么说，通过解题学生了解了知识使用的程度和频率，但是却往往不清楚同类型问题背景载体下还有哪些知识值得挖掘使用，这才是数学问题解决的第二层次.笔者以三角中的一个典型问题举例说明：

学生创编1：若b=2，△ABC为锐角三角形，求sinA+sinC的取值范围.

学生创编2：若b=2，求ac的最大值.

学生创编3：若b=2，求a2+c2的最大值.

学生创编4：若b=2，求△ABC的面积的最大值.

学生创编5：若b=2，求三角形边b所在高的最大值；

说明：从问题本身出发，往往仅仅只能解决一个知识点，但是教师引导下的问题创编，让学生从同样问题背景载体下的不同知识使用以及知识整合的使用，让学生对于知识的熟练程度和黏合程度有了更大的认识（解答从略）.

总之，三角函数是一种特殊的、以角度为自变量的函数模型，是非常有创新角度的函数模型. 有些问题以常规变量建立函数模型解决起来非常困难，但以角度去思考本身就是一种理解层面的创新. 三角函数正是因为借鉴了函数特征，又具备角度灵活性的特点，在很多知识中显示了承接性.三角知识中有很多重要的知识，正余弦定理、三角公式等，但是这些知识不能孤立地来看待，这些知识下可以链接初中数学，上可以串接向量、实际运用问题，做到创新使用、融会贯通，是我们学会一种知识、掌握一种知识的重要心得. 这样长期引导有助于学生以点及面地看待知识，循序渐进地理解知识，融会贯通地使用知识，将学生对于基础知识的理解和运用提高到一个新的学习境界，培养学生问题解决能力和一定的创新素养.