基于S-PC-A核心素养导向的数学课堂教学构想

郑庆全

摘  要：在以核心素养为抓手不断推进基础教育课程改革背景下，课堂教学特别是数学课堂教学就成了核心素养落地的主阵地.核心素养导向的课堂教学在设计方面主要涉及教师的专业认知，同时直接指导着教师的教学实施.基于这种认识，构建了基于S-PC-A素养发展微元的课堂教学理论框架，并以《函数的单调性》为例，呈现了S-PC-A素养发展微元的核心素养导向的课堂教学的设计与实施方面，期待基于该理论框架的数学课堂教学设计与实施，能够更有利于发展学生的核心素养，推进当前数学课堂教学改革的高质量发展.

关键词：数学课堂教学；S-PC-A；素养发展微元

1  问题提出

当前，全面贯彻党的教育方针，坚定不移完成立德树人的教育根本任务，深入推进基础教育课程改革发展，仍是高质量发展新时代坚持的方向和原则.虽然当前基础教育课程教学改革的核心和关键的核心素养已经在政策和理论层面达成共识，但在实践层面还需要长期探索，首要环节就是课堂教学，特别是数学课堂教学.课堂教学设计重点应聚焦通过知识运用达到培育核心素养的目的［1］，这主要是通过学科来实现的，数学作为基础教育的重要学科，应该发挥学科育人的重要作用.学科育人的重要载体是核心素养，核心素养的培育需要特殊理论框架的教学设计来保障.核心素养导向教学应有核心素养式的教学设计和教学实施，前者凸显知识运用的情境、问题和活动预案，需要预先设计，目的是为实施做准备；后者立足于教学智慧的教学活动和动态的艺术把握，需要在教学中关注进展情况，以便及时作出教学决策.因此，基于核心素养的培育，构建理论框架并在具体课堂教学中不断改进运用就成为当前基础教育课程发展和改革领域的重要课题，本文以《函数的单调性（第1课时）》（以下简称《函数的单调性》）为例，在这方面做些探索，从而为核心素养的培育提供路径.

2  发展核心素养微元的理论框架建构

综合核心素养培育的当前研究成果，其反映在数学课堂教学设计中，集中表现为情境、问题和活动，以及更加关注知识与素养的关系，特别是“情境、问题与意义是知识与素养贯通的三要素”［2］.意义是通过实践得到的，学生的实践按真实与否一般分为模拟的、实验的和现场的.无论哪种实践，都是需要通过活动与学生进行交互的.通过“知识”与“情境”的融合，“知识”与“问题”的对接，“知识”与“意义”的关联，达成自主、主动的学习.情境、问题和活动之间的基本关系是活动要将问题与情境融合在一起，并且在行动中呈现.因此，这里将“情境（Situation）—问题链（Problem Chain）—活动（Activity）”称为素养发展微元，简称S-PC-A素养发展微元.S-PC-A素养发展微元是基于学生动机激发和兴趣培养的综合情境设计，凸显促进全面深入思考的问题链设计，注重知识与方法迁移的实践性教学活动设计.其整体思路是建构课题知识点的时空序，并匹配合适的呈现形式，然后将“时空序+合适形式”放入学生情境中，产生各类问题链，以教为主导，设计学生居于主体地位的教学活动.素养发展微元是构成教学设计的基本框架体系的重要组成部分，它融合了核心素养的正确价值观、关键品格和必备能力，其中情境有利于学生体验进阶进步成就感，问题有反映作为数学内在力量的数学家的理性精神，活动中有推理性任务.这种“情境-问题链-活动”三位一体的微型体系构成的素养发展微元，既有利于打造铸魂育人的有灵魂的课堂，又充分体现立德树人、以人为本的教育理念.学生长远的发展需要丰富多彩的活动，全面的发展需要各种各样的情境，深入的发展需要不同类型的问题，这样就将“长远与活动，全面与情境，深入与问题”相对应，凸显了以学生发展为中心的时代理念.整个素养发展微元的活动中，显性的过程是知识的生成，隐性的过程是素养的达成，知识和素养通过活动以二者的情境、问题与意义三要素相融通.其中，情境强调迁移，问题促进思考，活动侧重融合和实践.

简言之，核心素养导向的教学，就是培育核心素养的教学.具体就是在科学氛围和学科精神浸润渗透的情境下，通过问题链促进思维，在育人活动和学科活动中通过知识运用发展核心素养的教学，其核心要素是情境、问题（链）和活动.S-PC-A素养发展微元是联系知识与素养、理论与实践、设计与实施的中介，立足于核心素养培育的数学课堂教学通过S-PC-A的素养发展微元来实现，这主要是由于核心素养的发展处于情境、问题（链）和活动的中心.核心素养特别是数学核心素养属于个体内在的思维品质和能力，只有当个体处理具体情境中的具体问题时，才能将个体内在的数学核心素养转化为外在的行为表现，被他人所察觉和感知.数学学科核心素养是学生在具有情境的数学活动中切实感悟、综合理解、反复强化逐渐形成的，主要来源是数学活动经验的积累.［3］

从问题视角来看，问题解决的内涵因核心素养的提出而被拓展至经验领域.问题不再局限于那些不随情境变化的、早已为人所知的主题，它们根植于生活情境，意味着现实与理想的差距是经验走向理性的桥梁.［4］而从情境视角来看，情境必然蕴含着众多问题，它也可以与活动相关联，而且情境是促进核心素养发展的重要外部因素.就活动来讲，发展学生核心素养需要一系列相互关联的，具有综合性、实践性特征的教学活动作为中介才能实现，学生只有参与活动，才能有机整合和内化所学内容，实现迁移和创新，促进知识向能力转化，促进正确的价值观、关键能力和必备品格的融合，即运用所学知识和技能分析问题和解决问题，发展学生核心素养.活动追求综合性和实践性以及跨学科性；活动突出知识与方法的迁移；活动需要设计，这是因为活动把知识创生者创生知识的过程以浓缩、简洁的方式展现出来，恢复知识创生时的情境性、问题性与意义性，让学生典型地、简约地经历人类认识过程.这一活动设计可以让学生将外在的公共知识内化为学生素养.活动是基于情境和问题链，经历问题发现、提出、分析和解决的完整过程，建构出作為结果的以问题为中心的知识系统的过程，这个建构性学习过程共享着知识和素养的情境、问题与意义三要素，其中意义主要就是学习者通过这种活动体验到的.对于S-PC-A素养发展微元，既可以整节课使用，又可以将某一微元在课堂教学的某一环节使用.

3  S-PC-A素养发展微元要点的教学设计与教学实施

上述发展核心素养微元的理论框架需要课堂教学设计的理论和教学实施的检验.核心素养导向教学所具有的核心素养式教学设计和教学实施各有特点.前者开放式设计给核心素养导向的教学想象和构想提供了众多的机会和可能性，后者弹性实施的特点给教学实践预留了广阔的发挥空间.以下就用《函数的单调性》课堂教学案例加以说明.

3.1  《函数的单调性》中的核心素养与S-PC-A的素养发展微元

情境促进迁移，迁移是“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”的“三会”发展的重要表现.在“三会”数学核心素养视角下的《函数的单调性》中，数学眼光指函数模型、数学抽象、直观想象，数学思维有数形结合、逻辑推理、数学运算，数学语言包括图形直观语言、数学自然语言、形式化符号语言、数学建模.在《函数的单调性》中，用函数的眼光观察气温变化图，经历经验材料数学化过程，发展数学建模、数学抽象、直观想象和逻辑推理素养以初步明确函数单调性内涵.这些发展数学核心素养的教学行动和教学行为具有各种表现，如直观想象通过微观无限和宏观无穷表现，数学运算通过函数单调性证明中做差比较大小表现，数学建模主要表现在上升下降对图形的抽象、增大或减小利用算术思维对上升下降的数量大小的感性直观抽象、符号化利用代数思维对感性直观的理性抽象三种语言的抽象中.数学思维表现为通过考察已学函数的单调性状况，经历数学材料的逻辑组织化过程，发展学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学建模素养以明确函数单调性外延，进一步形成符号语言表达定义.通过运用形式化符号语言定义，经历数学理论的运用过程，发展学生的逻辑推理、数学建模、数学运算素养.人教A版教材则在语言视角下运用函数的图象法、表格法和解析法三种表示方法研究函数的单调性，分别对应图形直观、数学自然和数学形式化符号三种语言，而数学自然语言（数角度）是介于图形直观语言（形角度）和形式符号语言（关系角度）的中间环节.数学核心素养表现的基本点有正确价值观、关键能力和必备品格，其中情感、态度、价值观和兴趣等发挥着重要作用，这些都可用S-PC-A的素养发展微元来表现，集中表现为情境（生活、数学和科学）创设、数学问题呈现和数学活动设计.

3.2  S-PC-A素养发展微元的教学设计要点与呈现

《函数的单调性》作为高中数学课程的重要内容具有典型的代表性.基于S-PC-A核心素养导向的数学课堂教学设计围绕函数的单调性，在“观察气温变化图—研究三个函数图象—运用数学自然语言描述—探究符号语言严格描述—应用情境加深理解—体系化建构强化”这一教学思路下，设计了5个教学环节：问题聚焦，框定概念；回顾梳理，初究概念；深度追问，再探概念；深刻理解，应用概念；小结提升，升华概念.在这些教学环节下设计了基于气温变化的函数单调性观察思考、基于学生互动交流的已学有关函数单调性知识梳理、数学材料逻辑化的函数单调性知识关联建构、数学材料逻辑化的函数单调性的形式符号化建构、应用情境的函数单调性概念深入理解和函数单元整体视角的总结反思6个素养发展微元.在S-PC-A素养发展微元框架内，教学设计的体现有特征凸显情境、同化旧知情境、精确定量情境、反思确认情境、巩固运用情境、融合系统情境，共6个情境；有特征凸显问题链、同化旧知问题链、精确定量问题链、反思确认问题链、巩固运用问题链、融合系统问题链，共6个问题链；有特征凸显的活动、同化旧知的活动、精确定量的活动、反思确认的活动、巩固运用的活动、融合反思的活动，共6类活动.这样的教学设计围绕函数这个大概念，抓住函数的性质这个关键概念，在《函数的单调性》这一重要概念兼性质的具体课时中，以S-PC-A形式呈现教学设计，建构S-PC-A素养发展微元教学设计模式，一般呈现的基本要素有对情境进行描述，列出问题链，对活动的性质、过程或步骤以及结果进行描述.

下面就以“探究符号语言严格描述”教学环节下，“数学材料逻辑化的函数单调性的形式符号化建构”的素养发展微元为例来说明基于S-PC-A核心素养导向的教学设计呈现.

从教学环节来讲，深度追问，再探概念.我们再深入考察一下，“y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小”这种表述的语言是数学自然语言，还有没有必要建构更精确的量化描述？一般的思路是从具体函数怎么表示自变量增大到怎么表示因变量随自变量增大而增大；从有限到无限直至所有，即从两点任意性到推广至一般函数再到类比因变量随自变量增大而减小表述，最后得到一般函数单调性的严格化的形式化符号语言表述.

为更清晰和精确，数学建模出符号形式化描述.学科活动之数学材料逻辑化的方向是形式化的精确严格化，通过进一步深入追问函数单调性描述的精确化，归结并反思刻画方法.开始表述是图形直观语言，接着是数学自然语言.目前对于函数单调性有两种语言表述，即图形直观语言和数学自然语言.此外，还可以怎么表述？观察图象，x增大还可以怎么表述？能否用形式化符号语言表述？

要素1：情境——凸显数学理性的特征

情境涉及学习环境，属于隐性的精神或文化层面.呈现三位数学家的名言：一是美国应用数学家M·克莱因曾指出，数学是一种理性精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵；二是日本数学家米山国藏概括的几种数学精神是严密化精神；三是我国数学家张奠宙先生讲，数学核心素养“真”的维度是理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性和精确性.函数单调性概念建构过程是一个建构概念意义和不断精确化表征数学理解的过程.

情境的落脚点或者聚焦点是核心问题，这一情境的核心问题是证明某函数的单调性.呈现下列问题：依据上述定义（图形语言和自然语言描述），试判断二次函数f（x）=x2在（0，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明.能否用图形直观语言和数学自然语言两种语言表述来证明函数的单调性？图形看不出或者较难画出函数图象，怎么判断呢？需要寻求更为严谨和准确的形式化符号语言来表述.引发认知冲突，从而反映出对于函数单调性精确刻画的必要性.依据定义来解决问题是一种常用方法，这一次为什么不行了呢？原因是定义（指自然语言描述）是不精确的，它只是一种描述性语言，無法依据它进行相关计算和推理.要依据定义进行推理，必须要用准确的数学语言来刻画定义.那又如何用准确数学语言来刻画呢？需要如下几步来引导：自变量增大数学符号化、因变量随自变量的任意精准、减函数情形类比、完整数形两种表征.这正是下一步要涉及的，即问题链.

要素2：问题链——核心问题：怎样进一步精确严谨地描述函数的单调性

问题链：如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢？在（0，+∞）上取两个点x1，x2，这两个点有什么样的大小关系？对应函数值是什么样的大小关系？如果存在两个点满足这个大小关系，能不能说明在（0，+∞）上函数就是单调递增的呢？那应该怎么补充这个表述，才能说明函数单调递增？你能用数学语言试着写出一般函数在区间上单调递增的定义吗？仿照函数单调递增的定义，你能试着写出函数单调递减的定义吗？

更为具体的问题链，呈现“符号化—形式化—精确化—完整化”的发展过程.比如，呈现5个问题：（1）怎样表述x增大？怎样表述y增大？（2）怎样表述y随x增大而增大？（3）对于y=2x+1（如图1），能不能说由于x=1时y=3，x=2时y=5，就说随着x的增大，函数值y也增大？能不能说，由于x=1，2，3，4，…时，相应地y=3，5，7，9，…就说随着x的增大，函数值y也增大？答案是否定的.例如﹐函数y=（x-1）2-1（x∈R）（如图2），当x=1，2，3，4，5，…时，相应地y=-1，0，3，8，15，…就不能说随着x的增大，函数值y增大.这是因为x=-1时，y=3，就自变量的值而言，-1＜1，而相应的函数值却有3＞-1，即y不是随着x的增大而增大的.（4）怎样完整给出f（x）在区间I上单调递增的定义？通过讨论，结合图象给出f（x）在区间I上单调递增的定义.（5）如何定义减函数？类似地得出.

要素3：活动——函数单调性的形式化、符号化表达

活动环节从严格精确描述到思考两个关键问题到符号形式化的描述再到类比推广至单调递减最后小结强化.

能否更严格精确地描述？以上升性为例，先看两个量的变化表述，再看两个量的取法及其变化的范围；类似地得到下降性质，将上升和下降称为单调递增和单调递减，合称为单调性；启发引导，符号表征概念.可以分为以下三步：追求定量化、追求精确化、完整概括表述函数单调性.

第一步，追求定量化.在形式化語言过程中，主要有两个关键问题.第一个关键问题：“在某一区间内，y随x增大而增大”如何精确表示？要想精确，就要进行数量化，其中最重要的就是将“增大”数量化.如何将“增大”数量化呢？取两个数值，要求后一个数值比前一个数值大即可；“减小”同理，取两个数值，要求后一个数值比前一个数值小即可.第二个关键问题：如何保证在整个区间内y随x增大而增大的趋势一直不变？取有限的x不行，取无限的x也不行，只有取任意的x才行.

第二步，追求精确化.为更清晰和更精确，数学建模出符号形式化的描述.首先看“y随x的增大而增大”这句话中“x增大”怎么数量化精确表述？比如在二次函数f（x）=x2，x＞0这个部分定义域内，取x=1，增大的话，可取x=2.要描述在这部分定义域内x的增大，就要在第一次取遍所有的值，第二次再取比第一次大的值就可以了.看怎么表述“取遍所有的值”，就会联想到刚学的集合中的逻辑用语“任取”，比方说第一次任取的为x1，第二次取的为x2，增大的话，就为x1＜x2，总结为“x增大”即表示为“x1＜x2”；同理，y增大表述为“y1＜y2”.那么“y随x的增大而增大”表述为“若任取x1，x2，且x1＜x2，总有y1＜y2”.

第三步，完整概括表述函数单调性.结合图形，综合表述：函数y=f（x）图象的上升可以表述为“在函数y=f（x）的定义域子区间I上，任意取x1，x2，且x1＜x2，总有y1＜y2”，我们称函数y=f（x）在区间I上单调递增，其中的区间为增区间.类似地，得到函数y=f（x）的单调递减和单调递减区间的定义.进一步，把单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.

小结强化，强调单调性的形式化定义中，x1＜x2，推出f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））须对这个区间上任意x1，x2都成立.用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性主要有如下四步：先将两个“增大”符号化，再将“随”符号化，然后将隐含语言“任意”符号化，最后将隐含语言“区间”符号化.

3.3  S-PC-A素养发展微元的教学实施操作要点

要注意整体把握教学设计.函数单调性的教学设计首先将熟悉的情境变为数学化的情境，如深入研究一天内气温变化图，主要表现为从函数概念的视角描述变化规律（实数集合之间的对应关系），从函数表示的视角描述变化规律（形、数、关系），从函数性质视角描述如何变化运动关系在运动变化中整体与局部的“变中不变”；其后函数单调性概念建构过程是一个建构概念意义和不断精确化表征数学理解过程；接着应用函数单调性定义等知识解决问题的过程也是一个将陈述性知识进行程序化形成程序化知识，进而将学科价值观念、关键能力和必备品格融合为数学学科核心素养的过程；最后小结提炼过程是将价值观念、关键能力和必备品格融合为学生核心素养的过程.

S-PC-A素养发展微元的教学实施要点主要有以下几点：一是注意营造所要设计的情境；二是将问题链中的各问题及其关系理清楚；三是在活动目的明确的情况下，确定各步骤；另外，在教学实施中注意及时捕捉反映关键点，对接情境和问题，在活动中促进学生的聚焦式、比较式、因果式以及归因式反思.

4  结束语

基于S-PC-A核心素养导向数学课堂教学具有以下显著特点，即认知和兴趣合一的具有挑战性的数学问题，凸显核心素养的数学活动，学生不断深度参与的教学活动过程以及学生进阶进步的成就感.

在教学实施中，可从以下几个方面促进学生深度反思：一是定义域区间与单调区间的异同；二是表征中的“一直”“总有”“所有”的含义；三是深刻体会函数单调性反映了事物变化中的两种变化趋势；四是深刻认识到定量精确刻画的意义.特别应反思在函数单调性概念应用中一般的动态变化，即不等式，静态变化，即相等关系.

参考文献

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［4］张紫屏.论问题解决的教学论意义［J］.课程·教材·教法，2017，37（9）：52-59.