基于核心素养的高中数学《集合》教材内容编排的比较研究

杨定珺 何方国

摘  要：小学和初中的学生已经接触过一些集合，为了更加有效地使用集合语言，学生需要进一步了解集合有关知识.本研究从宏观和微观两个维度对人教A版、苏教版、北师大版三个版本的教材中《集合》的内容、习题数量和难度进行比较，并对三版教科书中数学文化的运用进行分析，以便一线教师在教授集合知识时可以根据学生的实际能力选择合适的教学方法.

关键词：教材比较；内容分析；集合；数学教学

1  问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，［1］其中数学抽象能力和逻辑推理能力是自主发展能力的重要组成部分，而集合是学生进入高中阶段学习的第一个数学知识点，也是培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力很重要的一部分.在教学实践中，学生学会了知识点却无法将抽象知识点具体应用到习题中，针对此类情况，笔者将高中数学人教A版、苏教版、北师大版教材进行对比研究，进行相互借鉴，期望对教师制定教学策略提供帮助.

2  研究内容及方法

2.1  研究内容

在中学阶段，我国不同地区使用不同版本教材，笔者选取了三种使用范围较广的教材，即人教A版、苏教版、北师大版教材.本文内容选自2019年人教A版必修第一册、2019年苏教版必修第一册以及2019年北师大版必修第一册.主要研究的是集合的概念与表示、集合间的基本关系、集合的基本运算的教材内容编排分析和教材中习题的数量与难度的比较.

在对三版教科书中《集合》的习题数量进行统计时，若一道习题中包含多次提问，无子问题，则把该题数量记为1；若一道习题中分设子题目，则按子题目数量统计；若一道习题为填空题，则每一空为一题.

针对以上习题数量的规定，给出以下3个示例，并解释说明.

例1  指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示.

A=｛x｜x是四边形｝，B=｛x｜x是平行四边形｝，C=｛x｜x是矩形｝，D=｛x｜x是正方形｝.

说明：该习题中不分设子题目，数量记为1.

例2  判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由.

（1）与定点A，B等距离的点；

（2）高中学生中的游泳能手.

说明：该习题中分设两个子题目，数量记为2.

例3  用符号“∈”或“”填空.

0    N；-3    N；0.5    Z.（其中N为自然数集，Z为整数集）

说明：该填空题中有三个空，数量记为3.

2.2  研究维度

本文主要从宏观和微观两个角度对三个版本教材中集合内容进行对比分析.宏观比较主要指包含三版本教材结构的比较，微观比较主要包含集合知识导入对比、知识的呈现对比、教材习题数量的对比以及其中蕴含的数学文化对比.

3  研究结果与分析

3.1  宏观分析结果

三版教材都将集合这个知识点放在了必修一第一章节，人教A版把集合的表示放在了集合的概念这一小节的知识拓展中，苏教版和北师大版是把集合的表示作为小节的重要部分；人教A版和北师大版中集合的基本关系是子集、真子集、空集，集合的基本运算包括并集、交集、补集、全集；苏教版则将基本关系中的子集、空集、真子集和基本运算中的全集、补集放在第二小节，将基本运算中的交集、并集放在第三小节.［2］

3.2  微观分析结果

3.2.1  “集合”知识导入对比

在引入方面，人教A版运用了复习导入的方法，列举了学生在小学和初中接触过的一些集合，如所有的正方形等，做好初高中知识的衔接，能够更好地将知识点进行迁移.在苏教版中运用情境导入，激发学生的学习兴趣，将数学文化中日常生活类素材融入教科书中，对学生人文素养的提升有非常重要的意义.北师大版则是将复习导入和情境导入相结合，以学生初中的数学学习和日常生活为起点，引入集合，这是社会生活类素材融入教科书中数学文化的很好体现.这三种导入方式都可以点燃学生的思维火花，为接下来对集合概念的学习奠定基础.

3.2.2  “集合的概念”知识点呈现对比

人教A版是让学生把1-10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合，进而让学生推导剩下五个例子能否组成集合，思考其中它们的元素又分别是什么.让学生思考得到元素和集合的概念，即我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.［3］

苏教版“集合的概念”的学习是运用初中数学学习的习题，让学生先将数字填入相应的集合圈内，运用了图形表征的方式帮助学生进一步理解并思考：什么是集合？如何用数学语言表示集合？由此得到定義：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合；集合中的每一个对象称为该集合的元素.［4］

北师大版运用初中数学和现实生活，把事物进行分类研究，而其中的每一类都可以构成一个集合，由此来引入集合的概念“一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合”［5］.

三版教材都是将集合的概念从学生的数学学习和日常生活中抽象出来，可以激发学生思考的热情，使学生的思维能够迅速定位到抽象概念的学习当中.苏教版在集合的概念旁边指出了集合论的创始人是康托尔，将显性数学史融入了教科书的编写中，有利于学生加强对数学文化的认识，且其对于集合的定义为学生接下来学习集合的元素特征奠定了基础，让集合的概念具体化.

人教A版和苏教版对于集合的元素特征都进行了说明，人教A版和北师大版中都涉及确定性和互异性，苏教版比人教A版和北师大版多提了一个无序性.在人教A版中集合的元素特征不是这一小节的教学目标，而苏教版认为集合互异性的辨析与应用是培养学生逻辑推理能力的重要一环.三版教材都对元素与集合的关系还有常用数集进行了说明，人教A版将常用数集汇总在表格中，苏教版和北师大版则是用文字进行叙述，且用加粗字体重点标出了常用数集的记法，两版教材都可以很直观地向学生呈现出数集的记法，帮助学生对常用数集进行记忆.人教A版和北师大版在对集合和集合的元素进行概念阐述时都是直接进行说明，而苏教版对集合概念运用了康托尔的人物介绍，在集合元素的概念陈述之后引入中国的直辖市，为学生进行解释说明，这些都是数学文化在教科书的体现，能够帮助学生认识数学的科学和人文价值.

3.2.3  “集合的表示方法”知识点呈现对比

人教A版先对列举法进行说明，随后举出两个例子，让学生充分掌握列举法的运用，此时教师需要对列举法表示集合的注意点进行说明然后另外提出两个思考题，这两个题目中的集合是否仍然可以运用列举法进行表示，得到否定答案之后再提出描述法，并举例说明，最后提出两个问题让学生尝试综合运用这两种方式表示集合.［6］

苏教版直接解释了列举法和描述法，并插入Venn图的展示，然后给出两个例题让学生完成，但是每一题都只运用一个方法让学生表示集合，比较简单，更适合一些数学基础较好的学生进行学习理解，教师应在教学中对集合的表示方法运用提供更多的练习.

北师大版开门见山地向学生展示了集合的两种表示方法：列举法和描述法.首先给出列举法的概念，然后给学生提供两个例题，检验学生对列举法的掌握程度；随后用大于3且小于10的所有實数组成的集合无法用列举法表示，让学生形成认知矛盾，此时再用描述法表示，层层递进，符合学生的思考规律.

3.2.4  “集合的基本关系”知识点呈现对比

人教A版、苏教版和北师大版都是让学生自主观察三个例子中两个集合之间的关系，推导出集合A中的每个元素都是集合B的元素，由此得出子集的概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB.人教A版三个例子中有两个是与学生社会生活密切相关的，可以将抽象概念具体化，有利于学生将复杂数学问题简单化.三个版本的教材都阐述了空集的概念，并规定空集是任何集合的子集.在这个部分，人教A版和北师大版都对Venn图进行解释，并用Venn图表示集合的包含关系，而苏教版在第一小节就已经解释了Venn图，这时就直接运用Venn图表示.人教A版是先引出真子集概念后引出空集，苏教版则与之相反，北师大版是在“集合的概念与表示”这一节给出了空集的概念.三版教材在对基本概念解释完毕之后都佐以例题让学生能够通过练习的方式加深对知识点的巩固，教会学生思考，在解题过程中学会举一反三.在“集合的基本关系”中，人教A版和北师大版没有融入数学文化，可以适当增加数学文化的占比，苏教版在概念引入时融入了数学文化.

3.2.5  “集合的运算”知识点呈现对比

人教A版将实数的加法运算迁移到集合的基本运算中，让学生观察两组集合，思考集合之间的关系，推导得出并集的概念，随后举出两个例子，强化学生对并集的理解，然后继续让学生观察两组集合，思考集合之间的关系得到交集的概念，后面继续举出两个例题，巩固学生对知识点的认识.

苏教版则是先观察思考得出交集的概念，然后引出并集的概念.

北师大版用集合C是由集合A和集合B的所有公共元素组成的等两个实例引入交集的概念，随后又用集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的等两个例题引入并集的概念.

三版教材中都用符号、Venn图对交集、并集进行了表示，符号语言抽象简洁，Venn图直观形象，有助于学生将抽象概念简单化.苏教版和北师大版还运用数轴来表示交集与并集，在涉及一些数学区间的交并集上的表示更加直观简单.在这一个章节中，人教A版和北师大版都认为补集也是集合间的基本运算，还提出了全集的概念；但在苏教版中补集和全集的概念呈现在了第二节中.求集合的并集、交集、补集都算是集合的运算，放在同一个小节里面可能更有利于学生理解概念，并能够应用它们的性质去解决问题.苏教版中还要求学生能够理解掌握区间和集合的关系，并能应用它们解决一些简单问题，而这个部分的学习对日后研究函数的定义域、值域、单调区间等内容起到了知识储备作用.

3.2.6  习题对比

习题的教学是数学教学的重要组成部分，学生解题的正确率可以反映学生对知识点的掌握情况，在习题中更容易融入数学文化，帮助学生理解数学思想和方法，培养良好的数学观和数学思维能力，也能够帮助学生认识数学的科学、人文和应用价值.

我们对三个版本的教科书的各栏目习题数量及其占比进行了统计分析（见表1）.

对人教A版、苏教版和北师大版习题数量进行显著性差异分析，结果显示，三个版本教材在习题数量上不存在显著性差异（χ2=6，p＞0.05）.

从整体上看，三版教科书习题均设置了练习题和章复习题两个栏目的习题，人教A版和苏教版还设置了节习题栏目，北师大版没有设置节习题栏目.人教A版和苏教版习题栏目设置比例为节习题＞练习题＞章复习题，且设置比例相差不大（如图1）.从局部来看，北师大版在练习题栏目上设置比例高于其他两个版本，占比为67.61%，章复习题设置比例也最高，占比32.39%.

在习题数量方面，三版教科书既有相同点，又有不同点，总习题量相差较大，但是习题栏目设置相似.其中，苏教版的习题数量几乎为人教A版和北师大版的两倍，说明苏教版非常重视学生对单个知识的理解和掌握.在章习题的设置比例上，北师大版高于其他两个版本，说明北师大版教科书非常重视学生对知识的综合运用，方便学生形成完整的知识框架.

下面对习题的难度进行分析比较，采用修正后的综合难度模型进行难度分析，表2为该模型难度因素和水平分类.

根据表2，对三版教材例题、习题进行统计，并且利用公式求出各难度因素的加权平均值得到表3.

从表3中可以看出，三个版本的教科书综合难度差异不大.从单个难度因素出发，在背景因素上，北师大版

教科书难度略高于人教A版和苏教版，这是因为北师大版教材的习题相对来说涉及较多的学科情境背景，而另外两个版本涉及较少.在运算和数学认知这两个难度因素方面，三版教科书都呈现较大难度，难度加权平均值从大到小的顺序为苏教版、北师大版、人教A版，这显然与集合知识本身存在较大关系.在运算难度因素上，集合的运算这个知识点涉及数值运算，导致三个版本教科书的习题在运算难度上变大；在数学认知难度因素上，因为集合的概念和表示抽象程度较高，学生在学习和理解上也会比较困难，从而对学生的认知能力提出了更高的要求，因此数学认知因素也呈现出五个难度因素中最高的加权平均值；在推理难度因素上，因为苏教版设置了较多的证明题，所以苏教版的难度加权平均值略高于人教A版和北师大版；在知识含量难度因素上，北师大版难度加权平均值略高，因为北师大版教科书在设置习题时需要学生综合运用所学知识，用多个知识点解题.

4  总结

从宏观和微观两个方面比较人教A版、苏教版和北师大版教材内容，可以发现人教A版和北师大版都把《集合》这个章节分为三个小部分：概念、基本关系、基本运算；而苏教版则是分为概念和表示，子集、全集、补集，交集、并集，而这样的目录里只包含了一个小节里面的部分内容，不能对一节课的内容进行良好的概括，补集是集合基本运算的一个部分，可以与交集、并集一起学习，让学生熟练掌握集合运算方法.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］林和铝，周仕蓉.新课标视角下高中数学教材对比研究——以人教A版高中数学“集合”为例［J］.理学考试研究，2022（13）：15-18.

［3］章建跃，李增沪.普通高中教科书：数学（必修第一册A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］单墫，李善良.普通高中教科书：数学（必修第一册）［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2019.

［5］王尚志，保继光.普通高中教科书：数学（必修第一册）［M］.北京：北京师范大学出版社，2019.

［6］胡云飞.核心素养视角下基于探究的概念教学设计与反思——以《集合的含义及其表示》为例［J］.数学通报，2017（11）：33-36.