逆向思维在初中数学解题中的应用

裴必达

【摘要】初中阶段学生需要掌握丰富的数学理论知识，并形成完善的数学思维，只有这样才能够保障在做题中的正确率.逆向思维是学生解答数学问题常用的一种思维，其主要是反向借助数学规律来进行思考，进而快速找出正确答案.研究发现，逆向思维能够帮助学生深度理解数学内涵，还可以促进学生树立学习数学的自信心.

【关键词】解题思路；逆向思维；初中数学

学生在解答初中数学问题时，只有选择最优的解题思路才能够提高解题效率以及解题正确率[1].逆向思维又被称之为反向数学思维，其能够培养学生形成发散式思维，通过采用与传统正向思维相反的方式进行推理来快速找出正确答案，这要求学生已经掌握了基本的数学知识，且能够对数学知识形成深刻认知[2-5].

1 逆向思维在初中数学题目中的多样化解题思路

1.1 逆向证明

例1 请大家证明2是一个无理数.

解题思路 很多初中学生只是将2是无理数这一数学知识记在了脑中，却不知道如何证明这一知识.一般情况下，初中学生会采用正向思维来进行思考，然而这一条路是行不通的.根据所学内容，任一有理数均能够通过分数体现出来，并且每一个分式也能够通过分母、分子互为质数的方式体现.因此，当我们需要证明2是一个无理数时，就能够使用逆向证明的方式，先假设2是一个有理数，最终分析发现这是一个矛盾的结论.

解析过程 先逆向假设2是一个有理数，这就会存在两个自然数a与b，并能够使2=a/b.

根据所学知识可知，a和b应当互为质数，因此当我们对上面这一式子进行平方后能够得到2=a2/b2，将左右两边调整一下能够得出a2=2b2.

由于a2是一个偶数，我们可进一步发现，a也应该是一个偶数.因此这就应当有一自然数c，能够得出a=2c.将这一式子中的2c替换到上一式子中的a，我们能够得出2c2=2b2，化简后可以得出4c2=2b2.

将左右两边都除2后能够得到2c2=b2.

进而得出b2是一个偶数，且b也必然是一个偶数.然而在前面的证明中发现a是一个偶数，最初假设时a和b应当互为质数，这就与假设不符，因此2是一个有理数的假设是错误的，这意味着，2应当是一个无理数.

1.2 逆向推导

例2 请大家采用简便方式来计算55125492的数值.

解题思路 在看到上面这一算式时，学生可采用过去所学的平方差公式进行计算：（a+b）（a－b）=a2－b2.当使用逆向思维进行推导时就能够快速得出正确答案：通过观察能够发现，当我们将（a+b）（a－b）=a2－b2这一个式子反过来后就能够得到a2－b2=（a+b）（a－b）.换句话说，当需要计算两个数的平方差时，相当于计算这两个数之差与这两个之和的乘积.即55125492就能够转变为求解（551+549）（551－549）的积.

解析过程 5512-5492=（551+549）（551－549）=2200.

1.3 逆向分析

例3 假设存在m，n两个正数，且二者不相等，请证明m3+n3>m2n+mn2成立.

题目分析 在拿到这一题目后可以发现，若我们直接根据已知信息来进行证明，则解题过程会十分繁琐复杂.但若借助逆向思维来进行反向证明，则可以直接从问题的结论出发进行逆推，这样就可以快速理清解题思路.此外，大多数初中学生在看到不等式左边的m3+n3时，就能够根据所学知识想到如下公式：x3+y3=（x+y）（x2－xy+y2），并有效借助这一公式进行解答.

题目解析 当我们将不等式的左右两边都分解后，能够得出等式：m3+n3=（m+n）（m2－mn+n2），m2n+mn2=mn（m+n），由此能够发现，要想证明问题的结论，就需要进一步证明（m+n）（m2－mn+n2）>mn（m+n）.由于转变后的不等式左右两侧均含有m+n，且由于已知条件可发现m，n均为正数，那么m+n>0，因此我们只要能够证明m2－mn+n2>mn就行.当我们把m2－mn+n2>mn的右侧移至左边时就变为了m2－2mn+n2>0，合并即发现（m－n）2>0.且由已知条件可发现m，n均为正数，且二者不相等，因此（m－n）2>0成立.

2 应用逆向思维解答不同类型数学问题

2.1 解答否定性命题

例4 已知ΔABC的内角是∠A、∠B、∠C.请证明：∠A、∠B、∠C三个内角无法存在两个角是直角.

题目分析 在上述问题中出现了“无法”字眼，类似问题中若出现“不能”“没有”等否定性词汇，则说明其属于否定性命题.对于这一类问题，如果学生直接运用已知条件进行证明，则需要对所有可能性进行论证，整个过程十分繁琐.若使用逆向思维进行证明，则会大大提高解题效率.

题目解析 如果∠A、∠B、∠C三个内角中有两个角都是直角，那么我们可假设∠A=90°，∠B=90°，就会有∠A+∠B+∠C>180°，然而这一推导出的结论和三角形内角和为180°的数学知识矛盾.因此∠A=90°，∠B=90°这一假设是错误的，由此能够证明∠A、∠B、∠C三个内角无法存在两个角是直角.

2.2 解答存在性命题

例5 过O点绘制出七条直线，请大家证明：相邻的以O为顶点的直线所成夹角内一定会有一个角的度数小于26°.

题目分析当数学问题中出现“会有”“存在”等字眼时，可以借助逆向思维假设一定没有.已知条件中说过O点的直线有7条，那么其相邻直线能够形成的夹角的数量为14个，且这些夹角度数相加后为360°，运用逆向思维进行思考，如果这些夹角的度数都大于26°；那么判断360°与这些角的度数相加后的总值大小即可.

题目解析 我们可以将O作为顶点，那么相邻直线能够构成14个夹角，且这些夹角正好能构成一个周角，如果14个角的度数都不小于26°，那么14个角的度数的总和就需要不小于14×26°=364°.上述结论与周角的度数始终为360°矛盾，由此能够证明以O作为顶点的14个夹角中一定会有一个角的度数小于26°.

参考文献：

[1]钟志伟.初中数学教学逆向思维应用探究[J].中国多媒体与网络教学学报（下旬刊），2023（08）：171-173.

[2]黎春.探究初中数学解题教學中逆向思维的应用[J].数理天地（初中版），2023（15）：47-49.

[3]夏云云.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].基础教育论坛，2023（15）：95-96.