基于新课标视野的初中生数学运算能力提升策略研究

康称彩

【摘要】运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力.在新课标中，运算能力的内涵被进一步细化，要求学生在明晰运算对象的基础上理解运算问题，并能简洁地进行数值计算和数式变形，另外还强调了代数推理的重要性.运算能力是沟通数学知识和数学思维的桥梁，本文从新课标的视野出发阐述提升初中学生数学运算能力的策略.

【关键词】新课标；初中数学；運算能力

新课标提升了对运算能力的培养要求，不仅强调运算能力在培养学生必备品格方面的作用，还渗透了对一些高阶思想的教学，除了重视对学生规则意识和程序意识的培养，还着重对学生一丝不苟、严谨求实科学态度的培养.在新课标视野下，教师在运算模块教学中需要运用更多综合性的策略.

1 注重结构化教学，强化运算一致性

提升学生的运算能力，并非通过大量的机械化训练来实现，而是要注重运算的内涵.初中数学会涉及大量的实数运算以及代数运算，这些运算虽然形式上有所不同，但是本质上存在通性，都遵循相同的算理，即所谓运算的一致性.在教学中，如果能注重结构化教学，可以大大提高学生学习不同类型运算的效率.

例如 教学人教版“同底数幂的除法”这一课时，跟“同底数幂的乘法”有所不同，课本不再从实际问题出发，引出一系列特殊的算式，然后观察算式获得一定的规律从而得到法则，而是选择从知识的内部发展出发，由数的运算中“除法是乘法的逆运算”，启发学生思考在式子运算中这一原理是否适用来作为切入点，这其实就是在强化运算的一致性，本节课有几个比较重要的教学关键点.

关键点1

师：学习完整式的乘法，同学们想想看我们接下来还要学些什么？

生：整式的除法.（基于数的运算经验，学生容易想到加减乘除四种运算类型的完备性）

师：根据我们学习整式乘法的经验，我们先从最简单的单项式除以单项式入手，28x4y2÷7x3y这个式子大家会算吗？

生：会.跟单项式除以单项式一样，应该是系数除以系数，同底数幂除以同底数幂.（大部分学生都认同他的观点）

师：同底数幂相除的部分你会算吗？（生：不会）你能不能大胆猜测下同底数幂除法的法则.

生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.那么同底数幂相除，应该是底数不变，指数相减？（教师给予肯定的目光）

师：你能不能举个例子来佐证你的猜想？

生：33÷32=3.

关键点2

师：刚才那位同学的猜想大家能不能用一个等式表示出来？

生：am÷an=am-n.（基于同底数幂的学习经验，学生容易写出）

师：猜想是发现数学定理的前提，但是我们必须用严谨的证明来解释这个猜想的合理性.有哪位同学可以解释下？（学生沉默）大家想想看，小学的时候我们怎么得到除法法则的？

生：我记得是由乘法得到的，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法.

师：很好，我们说除法是乘法的逆运算，在式子运算中同样适用，你能用它来解释am÷an=am-n这个式子吗？（小组讨论）

生：可以.由同底数幂的乘法得到amam-n=an，根据除法是乘法的逆运算得到am÷an=am-n.（强化代数推理）

关键点3

师：数学是追求严谨的，大家刚才都完成了对于am÷an=am-n的证明，但是还不严谨，谁来补充一下？

生：我觉得指数位置的m要大于n.（师：为什么？）因为同底数幂乘法强调的是指数要为正整数，所以要想amam-n=an，则m-n>0，即m>n.

师：特别好，想得很仔细.现在大家可以动手给同底数幂的除法定义法则了吗？

生：am÷an=am-n.（其中m，n为正整数且m>n）

师：你能用文字语言来陈述这个法则吗？

生：同底数幂相除，底数不变，指数相减.（教师呈现同底数幂乘法法则，把二者放在同一个表格中进行横向对比）

坚持从知识的内部关联入手，注重结构化教学，可以培养学生自主建构和举一反三的能力，这样大大提高了学生学习不同类型运算的效率.这样的案例还有很多，例如二次根式加减这门课，基于结构化教学，先让学生猜想可能的运算路径，学生容易根据经验猜想“二次根式相加减，就是把被开方数相加减，再开根号”，这样的猜想合理但不正确，教师就要适时地干预，采用举反例（4+9≠13）的方法纠正，然后再引导学生思考其他可能的路径（类比合并同类项），最后再用运算律解释其合理性.重视结构化教学，对运算进行聚类分析，能帮助学生明晰运算的对象和意义.

2 注重程序示范，强调反馈纠正

坚实的运算基础是数学学科核心素养落实的重要保障，所以在运算能力形成的认知阶段（学会怎么算）要重视教师的示范作用，特别是在初一年段，教师要肯花时间把运算的每一个步骤讲清楚、写清楚，然后让学生理解每一步的算理依据并能够正确表述.

例如 学生经常把“-22”与“-22”搞混，那么教师在辨析这两个式子的时候就要引导学生认清式子中幂的结构（底数和指数分别是什么），理清运算的对象，可以通过让学生复述“-22是以-2为底数，表示-2的2次幂；-22是以2为底数，表示2的2次幂的相反数，负号是幂的符号而不是底数2的符号”，达到区分的目的，发挥教师的示范性作用可以帮助学生形成规范性作答的习惯，确保运算的准确率.

另外，学生在做一些数值计算或者变形的时候总是喜欢跳步，所以往往因为缺失关键性步骤，导致一分未得，那么教师在初一年级的时候就要严格要求学生，引导他们将运算程序化，当然可以少一点练习题，但是每一道题目计算都需要学生归纳总结步骤，以帮助学生提高得分率.

例如 解有分母的一元一次方程，就要求学生在第一步去分母的时候，给每一项的式子先加一个括号，然后检查是否漏乘，进行有理数的乘法运算时，要求学生先确定积的符号，再用代入法求解二元一次方程组的时候，代入列式的步骤要呈现出来等.

要想提高学生的运算能力，不是依靠题海战术或者机械化的计算训练，而是要适时地引导学生反馈纠正.有的时候让学生复盘自己的运算过程，自查自纠，有的时候可以人为地设置像这样的习题：

例如 （2022·福建）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

有人聲称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为x，令x=m，

等式两边都乘以x，得x2=mx．①

等式两边都减m2，得x2-m2=mx-m2．②

等式两边分别分解因式，得（x+m）（x-m）=m（x-m）．③

等式两边都除以x-m，得x+m=m．④

等式两边都减m，得x=0．⑤

所以任意一个实数都等于0．

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是．

这样的习题，可以让学生认真参与到运算的每一个步骤，思考每一个步骤所运用的算理是否正确.这样不仅可以调动学生综合性的运算知识，还可以提高学生的阅读水平，在时间有限的课堂达到高效学习的目的.在进行反馈纠正训练的时候，要让学生反思“错在哪里”“为什么错”“如何订正”以及“怎样规避错误”，这样的过程比进行单一运算有趣味，更容易吸引学生的注意力.

3 简化运算思维，优化运算途径

如果说前面的两个策略是为了提高学生运算的准确率，那么这一个策略就是为了提高学生运算的品质.我们知道，有些时候数式存在特殊结构，如果能帮助学生形成特殊的代数结构意识，那么学生就更有机会用比较简化的运算思维来优化运算的途径.数式中存在很多特殊结构，比如相反数、倒数、完全平方、平方差、共轭、对偶等，如果只是简单地识记，其实不利于学生形成自动化的意识，但是如果能把这些式子中蕴含的对称思想和数形结合思想道明，可以大大提高学生自动化水平.

例如 一元二次方程的求根公式x=-b±Δ/2a是反映根与系数关系的复杂形式，里面蕴含着整式、分式、根式，内容丰富，单独看并无特殊，但是合在一起看，就会发现里面存在对偶（共轭）结构，它们的和与它们的积都不含根式，韦达定理就是跟它们相关的运算结论，属于根与系数的简洁形式.如果碰到这样的习题：“已知x=1是方程x2+3x+m=0的一个根，则方程的另一个根是”.大部分学生都会习惯性地选择将x=1代入方程求解出m的值，然后再求解方程，这样运算的效率大大降低，如果学生对韦达定理熟练掌握，那么根据韦达定理的两根之和为-3，就可以快速求解出方程的另外一个根.这样“设而不求”的方法，在二次函数的综合题中经常会用到.像这样的对偶结构在代数运算中很常见，比如，在三角函数中也存在“如果∠A+∠B=90°，那么sin∠A=cos∠B”，学生通过观察特殊角的三角函数值表容易发现这种对偶关系.

运算也并非简单地识别完运算对象，然后就要依据法则进行程序化运算，有的时候也需要关注到式子中是否含有特殊的代数结构.以下面这道题为例：

例题 （2022-2023厦门期末质检）△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝67.5°，BC的长为2/2π．点P是射线BC上的动点，BP＝m（m≥2）．射线OP绕点O逆时针旋转45°得到射线OD，如图1所示．点Q是射线OD上的点，点Q与点O不重合，连接PQ，PQ＝n．

（1）求⊙O的半径；

（2）当n2＝m2-2m＋2时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记Q1，Q2是其中任意两个位置，探究直线Q1Q2与⊙O的位置关系．

对于第（2）问中出现的式子“n2＝m2-2m＋2”，大部分学生把它当作方程进行求解，对等式中的式子进行毫无方向的变形，比如出现n2-1=（m-1）2的变形，这部分学生其实具备特殊代数结构的意识，但是并不知道这些特殊变形有什么具体的作用，有的会根据（m-1）20讨论n的取值范围.

显然，在这样的图形问题中，学生缺乏数形结合的思想，未能正确地把代数式的信息和图形的信息对应起来，导致选错了运算的途径，进行了一些无效的运算操作.所以除了对称思想，数形结合思想的也能够提高学生特殊代数结构的自动化意识.

4 结语

综上所述，算法是通过有限的步骤解决数学问题的程序，这种程序通常可以利用计算机实现.所以渗透算法的思想，是信息化时代培养学生信息化素养的重要任务.挖掘运算中所蕴含的数学思想是新课标与旧课标内容要求上的最大不同，也是核心素养下运算教学的新方向.

【基金项目：本文系思明区教育科学“十四五”规划2022年度课题“基于新课标视角的初中学生数学运算能力提升策略探究”的研究成果（编号：2202220001）】

参考文献：

［1］鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之二：运算能力[J].中学数学教育，2022（11）：3-8.

［2］马晓华.核心素养下初中数学教学中学生运算能力的培养[J].试题与研究，2023（17）：57-59.

［3］陈建忠.核心素养下培养学生运算能力的具体路径[J].中学数学，2022（24）：79-81.