善析条件结论，实现一题多解

胡澳丽

摘要：几何证明在中学数学教学中有着重要的作用，同时也是考卷中的重点考查部分.学生面对几何证明题一筹莫展的重要原因之一是缺乏分析能力，不善于运用数学思维分析题目条件和结论，从而失去提升数学解题能力的机会.在教学中，教师应引导学生用所学知识分析思考，实现知识间的融会贯通，同时引导学生在不同视角下对题目进行多角度分析思考，实现一题多解.

关键词：初中几何；解题技巧；一题多解

1 问题呈现

如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，AC=2AB.

求证：BC2+CD2=2BD2.

2 试题分析

该题是初中的一道综合性几何证明题，考查的知识点较多，重在培养学生对知识的掌握以及运用能力，实现对知识的巧妙运用，达到举一反三的效果.从题目所给条件及结论入手，可从四个不同的角度对题目进行分析证明.

3 特色解法

视角一：根据条件AB=AD，利用等腰三角形构造旋转，形成“手拉手”模型.

证法1：如图2，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转到△ABE，连接CE.

∴△ADC≌△ABE.

∵∠DAB=∠CAE，

ADAC=ABAE=12，

∴△ADB∽△ACE.

∴BDEC=ADAC=12.

∴EC=2BD.

又∠ABE=∠ADC，∠BAD+∠BCD=90°，

∴∠EBC=90°.

在Rt△EBC中，由勾股定理，得

BC2+BE2=EC2.

∵BE=CD，EC=2BD，

∴BC2+CD2=2BD2.

证法2：如图3所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE，连接CE（按证法1步骤同理可得结论，解答过程略）.

视角二：根据条件∠BAD+∠BCD=90°，利用互余条件巧构直角，寻找特征线段间的数量关系.

证法3：如图4，过点C作线段BC的垂线，截取CE=CD，连接BE，DE.

∵BC⊥EC，

∠BAD+∠BCD=90°，

AD=AB，DC=EC，

∴∠BAD=∠DCE，ADCD=ABCE.

∴△DAB∽△DCE.

∴DEDB=CDAD=CEAB，∠ADB=∠CDE.

又∠ADC=∠BDE，DEBD=CDAD，

∴△ADC∽△BDE.

∴BE=BD·ACAD=2BD.

在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC2+EC2=BE2.

∴BC2+CD2=2BD2.

证法4：如图5，过点A作线段AB的垂线，取点E，使得

∠EDA=∠BDC.

∵EA⊥AB，

∠BAD+∠BCD=90°，

∴∠DAE=∠DCB.

又∠EDA=∠BDC，

∴∠AED=∠CBD.

∴△BCD∽△EAD.

∴ADCD=DEDB=AECB，

∠BDE=∠CDA.

∴△EDB∽△ADC.

∴ACAD=EBED=2.

∴EB=2ED.

设ADCD=DEDB=AECB=k.

∵AD=AB，

∴AE=kBC，AB=kCD，DE=kBD.

在Rt△AEB中，有AE2+AB2=BE2.

代入化简，得BC2+CD2=2BD2.

视角三：根据条件AC=2AB，利用比例线段构造相似三角形进行证明.

证法5：如图6，分别延长AB，AD至点E和点F，使DF=AD，BE=AB，连接CF，CE，EF，则BD是△AEF的中位线，EF=2BD.

∵AB=AD，

AC=2AB，

∴AEAC=2ABAC=2=ACAB.

∴△ABC∽△ACE.

∴∠4=∠5，CECB=ACAB=2.

同理，∠3=∠6，CFCD=ACAB=2.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2+∠5+∠6=90°.

∴∠FCE=90°.

由勾股定理，得CE2+CF2=EF2.

∴（2BC）2+（2CD）2=（2BD）2.

∴BC2+CD2=2BD2.

证法6：如图7，取AC的中点E，连接ED，EB.

∵AC=2AB，AC=2AE，

∴ACAB=ABAE=2.

又∠BAC=∠EAB，

∴△BAC∽△EAB.

∴CB=2BE，∠EBA=∠ACB.

同理，可得CD=2DE，∠EDA=∠DCA.

∵∠BAD+∠DCB=90°，

∴∠EBA+∠EDA+∠BAD=90°.

由三角形内角和为180°，得∠BED=90°.

由勾股定理，可得BE2+ED2=BD2.

∴（2BE）2+（2ED）2=2BD2.

∴BC2+CD2=2BD2.

视角四：根据AC=2AB，利用特征结论构造直角三角形进行证明.

证法7：如图8，过点B作BE⊥BC，使得BE=CD，连接AE，CE.

在四边形ABCD中，

∠ADC=270°－∠ABC.

∵∠ABE=270°－∠ABC，

∴∠ADC=∠ABE.

∴△ADC≌△ABE（SAS）.

∴∠DAC=∠BAE.

∴∠DAB=∠CAE.

又AD=AB，AC=AE，

∴△ABD∽△AEC.

∴ACAB=ECBD=2.

∴EC=2BD.

在Rt△CBE中，由勾股定理，可得

BC2+BE2=CE2.

又BE=CD，EC=2BD，

∴BC2+CD2=2BD2.

4 结语

对于证明题的作答，学生首先要认真审题，挖掘题目所涉及的知识点以及它们之间的内在联系，体会其中的数学思想，把握命题者的出题意图，从而高效解题.

善于分析题目，巧挖掘条件，从题目中抓重点，尝试从不同角度解题，实现一题多解.一题多解不仅能扩宽学生解题思路、提高学生解决问题的能力，而且能让学生体会其中的數学思想，发展数学学科的核心素养.