运用变式教学促进深度学习

刘军

1 问题呈现

例1  如图1所示，在正方形ABCD中，G是BC边上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，BF∥DE，且交AG于点F.

求证：AF－BF=EF.

例1是“正方形”一课的课后习题，该题是一道典型习题，涉及的知识点较多，可以很好地考查学生知识的迁移、重组能力，促使学生直观想象和逻辑推理等素养的提升.

八年级的学生已经拥有一定的知识储备，具有一定的分析和解决问题的能力，也具有一定的逻辑推理能力，这些知识、经验、能力等为进一步的思考与探究创造了条件.在本题教学中，教师要充分发挥典型习题的作用，通过变式引领学生体会“赵爽弦图”的运用，充分挖掘蕴含其中的规律、方法，提升学生数学抽象、数学建模、逻辑推理等素养，培养学生勤于思考、乐于探索的良好学习习惯.

2 问题探究

根据已知条件不难发现，将不在同一直线上的线段转化到同一直线上是解决本题的关键.教学过程中，教师不要急于呈现解题过程，应预留充足的时间让学生思考与交流，引导学生从“看”“想”“得”三方面进行深层次的探究（如图2）.通過对已知条件和结论的深度剖析后，教师要启发学生关注在同一直线上的线段AF和EF的关系.结合图1不难发现，EF=AF－AE，而结论为AF－BF=EF，这样只要证明AE=BF，问题即可迎刃而解.这样通过证明△ABF≌△DAE，找到线段之间的数量关系，问题顺利获证.

正方形ABCD

正方形的性质

AB=AD

∠DAB=90°

DE⊥AG

垂直的定义

∠1=90°

BF∥DE

平行线的性质

∠1=∠2=90°

这样通过深入分析，学生形成解题思路后，教师还应预留时间让学生将问题解决到底，以此规范解答，加强学生逻辑关系描述的准确性.在讲解例1后，教师可以引导学生将图1中的弦图补充完整，由此发现小正方形的边长为Rt△DAE的两条直角边的差，为接下来的变式探究作铺垫.

3 问题变式

为了进一步探究蕴含其中的数量关系，教师基于基本学情对题目进行改编，从而将一道题推广至一类题，让学生通过由特殊到一般的深入探究掌握问题的本质，提高分析和解决问题的能力.

变式1  如图1，在正方形ABCD中，G是BC边上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，BF∥DE，且交AG于点F.请直接写出DE，BF，EF存在的数量关系.

问题给出后，预留时间让学生思考、交流，教师巡视，并在合适的时机进行适度的启发和引导.学生通过深入探究，得到如下结论：

（1）如图1，当点G在线段BC上时，DE－BF=EF.

（2）如图3，当点G与点C重合时，DE=BF，EF=0；如图4，当点G在BC延长线时，BF－DE=EF.

（3）如图5，当点G与B重合时，DE=EF，BF=0；如图6，当点G在CB延长线上时，DE+BF=EF.

这样通过深度学习，有效发散了学生的数学思维，培养了学生分类讨论素养，激发了学生的探究欲.

变式2  例1中的已知条件不变，结论改为“求线段EF的取值范围”.

结合变式1可知，当点G与点C重合时，EF=0，此时EF最小；当点G点B重合时，此时EF的长度等于正方形的边长.接下来教师展示图7，让学生直观感知随着点G位置的变化，EF的长度随之变化，渗透函数思想，从而为接下来研究“一次函数”作铺垫.

这样通过对教材问题的拓展研究，既有效沟通了全等三角形的相关知识，又让学生在由内弦图到外弦图的变化过程中形成新想法、新思路，充分感知“赵爽弦图”的变化之美.同时，在拓展延伸中让学生初步感受函数思想，充分感知知识间的内在联系，促进学生知识体系的建构和数学素养的提升.

4 问题推广

思考  如图8所示，当四边形ABCD是正方形时，则EF=AF－BF.如图9，△ABC是正三角形，其中∠1=∠2，那么AF，BF，EF存在怎样的数量关系？如图10，若将正三角形变为正五边形，∠1=∠2，此时AF，BF，EF存在怎样的数量关系呢？

教学过程中，教师在原有基础上进一步推广，将正方形背景下线段的数量关系推广至正三角形和正五边形中，让学生充分体会探究方法的一致性，引导学生归纳总结解决此类问题的方法，逐步帮助学生建构“一线三等角”模型，提高学生数学抽象和数学建模素养.

5 迁移应用

谈起中考试题，很多学生会用“新”“难”来概括，然深入探究不难发现，有些题实则是教材原题，学生之所以感觉“新”“难”，是因为在平时教学中对教材内容的理解不够深刻、全面，因此略有变化就感觉无从入手.其实，中考试题中时常会出现基本图形的变化一类问题，而这类问题往往与“赵爽弦图”密切相关.因此，在课堂教学中，教师应重视引导学生归类，让学生在变化中体会不变的本质，提高综合解题能力.

例2  如图11所示，四边形ABCD是边长为6 cm的正方形，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，以1 cm/s的速度向B，C，D，A匀速运动，当点E达到点B时，四点同时停止运动.问点E运动几秒时，四边形EFGH面积取最小值？其最小值为何值？

分析：由题意可知，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，根据已知条件可用含t的代数式表示AE与AH的长，由此得到关于t的二次函数，然后根据二次函数的性质可以求得当点E运动3 s时，四边形EFGH的面积最小，且最小值为18 cm2.

例3  如图12所示，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE，垂足为Q，DP⊥AQ，垂足为P.

（1）求证：AP=BQ；

（2）在不添加辅助线的情况下，图中各线段蕴含怎样的数量关系？

分析：学生结合已有经验易证△ABQ≌△DAP，问题（1）获证.对于问题（2），根据研究弦图的经验易得AQ－AP=PQ，AQ－BQ=PQ，DP－AP=PQ，DP－BQ=PQ.

例2、例3均为中考试题，均以正方形为背景，由基本图形变换而来，若学生能够认清问题的本质，自然可以轻松获解.在日常教学中，若不关注知识间的内在联系，不重视揭示问题的本质，那么学生在面对“陈题”时也会感觉陌生，这样在解题时出现“懂而不会”“一错再错”等情况也就不足为奇了.因此，在实际教学中，教师要充分挖掘教材资源，通过有效变式让学生学懂、学透，切实提高学生解题能力.