巧用反例教学,优化数学教学

⦿ 江苏省江阴市华士实验中学 张 云

纵观世界数学的发展史,发现反例对数学的发展有着显著的推动作用,如非欧几何的产生与无理数的发现等都与反例有着直接的联系.事实告诉我们,反驳与证明是推动数学发展的原动力[1].因此,我们在教学中,应将目光锁定反例教学,充分利用反例激发学生的质疑精神,提高学生的数学综合能力.

近年来,笔者在教学实践中,运用反例教学法获得了一定的教学效益,特将该教学技巧与作用进行整理与分析,提出几点拙浅的看法.

1 深化学生对概念的理解

概念是数学学习的基础.吃不透概念,就如同一座高楼大厦没有打好地基一样,缺乏稳固性.只从正面去教授概念,学生难以发现概念的特殊之处与存在的陷阱.遇到考查概念内涵的练习,便会被变化多端的描述与情境变化干扰,导致各种错误的产生.若采用反例教学的方式,则能深化学生对概念的理解程度,不论情境发生怎样的变化,都能一眼找出概念的内涵.

案例1“负数”的概念教学

负数是刚步入初中阶段学习的一个概念,教材运用了半列举的模式阐释负数的意义,如11.8%,9,9.5这些大于0的数为正数,-7.8%,-3,-10.5这些在正数前添加了“-”号的数为负数.从字面上来看,这个解释没有问题,但学生理解的时候容易产生偏差,有些学生会简单地理解为数字前只要有“-”号,就是负数.

为了深化学生对负数概念的理解,笔者尝试用反例教学法,提出“-(-2)属于正数的范畴还是负数的范畴“的问题.学生看到此问,立马认识到负数概念中的内涵(正数前面有“-”号).因此,要从负数的内涵上理解其概念,才不会出现偏差.

反例的运用,让学生认识到看似理所当然的概念,并非那么简单.对于概念的理解,需做到“咬文嚼字”的程度,要仔细琢磨概念中每一个字词的意义.有时,看似随意的描述,可能含有很多丰富的内涵.反例在概念教学中的应用,能让学生逐渐形成科学严谨的学习态度与思维方式,在对概念的理解与应用中树立反例意识,从而完善对概念的理解.

2 突破学生的思维定式

随着教学手段的进步,试题也越发变得灵活,对学生的解题能力也提出了更高的要求.但学生在学习中常会受之前认知水平与解题经验的影响,形成思维定式,解决一些繁杂的问题时会产生困扰.实践证明,反例教学的模式能有效地打破学生的思维定式,启发学生产生新的解题思路与方法,提高解题能力.

案例2“二次函数增减性”的教学

问题说说函数y=8x2的增减性.

不少学生受之前所学一次函数y=ax+b(a≠0)的影响,心理上产生了思维定势,觉得a=8>0,所以函数y=8x2呈递增性.为了突破思维定式对学生认知的影响,笔者利用反例教学的方式,让学生自主发现其中的奥秘,提出“当x1=3,x2=-6时,对应的函数值y1,y2分别是多少”的问题.

学生通过分析发现,二次函数与一次函数有着显著的差异,它的增减性不能以未知数的系数作为参考,而应以它的图象在坐标系中的对称轴作为讨论界限.

用反例法突破学生的思维定式,并非绝对的摒弃常规的正序思维,而是针对一些特殊的问题采用反例法教学,这样教学效果更为明显.其实,日常教学中仍然是常规思维训练运用得更多,在此基础上灵活运用反例法教学,能让学生学会从不同的视角或层面看待问题,从而开拓视野,拓宽思维,为解题思路的拓展提供帮助.

3 减少计算错误的发生

运算能力是数学学习的基本技能,它决定了学生在数学道路上能走多远.不论多巧妙的解题思路,若没有精准的计算作为保障,只能无奈地以失败告终.因此,没有较强的运算能力,就无法谈及解题能力的发展.而初中数学中的计算与小学相比,变得繁杂了许多,学生在计算上丢分的现象屡见不鲜.

怎样利用反例教学法提高学生的运算能力,避免因计算错误而导致失分的现象,是笔者近些年一直在探索的问题之一.实践中,笔者发现激发学生的潜能,提升他们的计算能力,反例教学法具有无可替代的重要作用.

案例3“完全平方公式”的教学

不少学生对于字母化的公式容易产生认识上的偏差,而完全平方公式又是初中阶段非常重要的一个乘法公式.因此,教师可用实际数字代替字母让学生进行反例训练,如区别(8+5)2和82+52的结果是否一致等.学生通过具体数字的计算,明确用字母所表达的完全平方差公式的意义,避免大脑形成错误的记忆而导致运算的失败.

有些教师受传统思想的干扰,习惯性地使用题海战术来训练学生的计算能力,认为熟能生巧是提高运算能力的基本手段.众所周知,大量刷题只能形成一种惯性的解题思维,离深刻理解算理与灵活运用算法还有很大的差距.将反例教学灵活地运用到计算训练中,可以达到减负增效的效果,也能让学生快速找出错误发生的原因.因此,重点突出、少而精的反例计算训练,是提高运算能力的催化剂.

4 提升学生的思维品质

良好的思维品质对学生的终身可持续性发展具有深远的影响.合理的思维练习对思维习惯的培养具有举足轻重的作用,而优质思维品质的形成,需有良好的思维习惯[2].解题中,不少学生出现一听就会、一做就错的现象.深究其原因并非是偶然失误所致,而是这部分学生的思维品质尚未达到该阶段应有的水平.

案例4“三角形的三边关系”的教学

本章节对三角形的三边关系提出了一个规律：三角形的任意两边之和必然大于第三条边,而两边只差必然小于第三条边.不少学生在运用该规律时,往往只关注到其中一个条件,认为只要满足这两个条件中的一个,就能构成三角形.笔者发现,用正序教学法讲解后,学生依然会出现这个错误.为此,笔者以通过例教学法,引发学生进行思考与分析：

问题在草稿纸上以2.5 cm,1.5 cm,1 cm为边画三角形.

学生以小组合作学习的方式画图,最终每组呈现的结果都是：无法画出满足该条件的三角形.为此,笔者要求各组讨论：为什么无法以这三个数据构造一个三角形?

学生经过讨论与分析后提出：虽然1.5+2.5>1,1+2.5>1.5,但是1+1.5=2.5,这与教材中所提到的“任意两条边相加都大于第三条边”的条件不相符.可见,1+1.5=2.5这个条件导致了无法画出三角形.

学生在这个反例教学中,更进一步地认识到此规律的重要性与实施过程中的意义.通过这个案例,学生也深刻认识到数学学习需讲究周密性与严谨性,不能因为大部分条件能满足,就认为是可行的,而应掌握数学概念、定理或规律的内涵,深刻认识每一个字词句所代表的意义,才能做到灵活应用.

思维品质的培养需要经历一个漫长的过程,而非一蹴而就的事.因此,教师应在教学中有意识、有计划地渗透数学思想,在润物细无声中长期训练学生的思维品质,让每一个学生都能在学习中获得良好的数学思维品质,为其终身可持续性发展奠定坚实的基础[3].

总之,反例教学是响应新课标“轻负高效”教育理念的新视角与思路.这种教学方式能让学生化被动为主动地参与学习,突破思维定式带来的弊端.于教师而言,反例法为教学开辟了新蹊径,启发了新的教学思路,让他们能从一个全新的角度去认识与看待数学事物.因此,反例教学不仅能促进师生的共同成长,还能有效地提升数学教学实效,为培养学生的数学能力与核心素养奠定基础.