中考数学二次函数压轴题常见题型及解题策略

曹瑾

【摘要】中考数学二次函数压轴题常见题型有求解二次函数解析问题、动点问题、交点问题、中点问题、三角形和四边形的存在性及面积问题、线段长度或图形面积的最值问题等类型.要想有效解决此类问题，需要掌握解题规律，综合运用多方面的知识、多种数学思想方法，才能提高解题效率.

【关键词】中考数学；二次函数；解题策略

二次函数是初中数学教学的重点和难点内容，也是每年各地中考常见压轴大题的主要考查内容.基于二次函数的压轴大题具有题型多、考查内容广、综合性强、难度大的特点，许多学生在解决此类问题时，经常存在畏难情绪，或者不知如何快速有效地解决此类问题.为了帮助学生有效地解决二次函数压轴题，教师应加强中考数学二次函数压轴题常见题型及解题策略总结，以提高学生的数学解题能力.

1  解析式问题

二次函数压轴题第一小问一般都是求函数解析式，如果该问解决不好，后面的问题将无法解决，该问题是解决压轴题的基础.求解函数解析式时，通常遵循以下步骤：①设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）；②把已知点的坐标代入解析式中；③解方程或方程组求出未知字母的值；④把所求得的字母的值代入解析式中，即可求得二次函数的解析式.

例1  已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A－1，0、B（3，0）两点，函数图象的顶点D关于x轴的对称点是D1点，如图1所示.

（1）求二次函数的解析式；

（2）如果直线AD1与函数图象交于C点，求△ABC的面积；

（3）判断是否存在过A、B两点的二次函数，函数顶点E关于x轴的对称点是E1点，并且四边形AEBE1为正方形？如果存在，求此二次函数解析式，如果不存在，说明原因.

解析  （1）把A、B兩点数值代入解析式中解方程组，可得b=－2，c=-3，可求得二次函数的解析式为y=x2－2x-3.

（2）把二次函数解析式化成顶点式y=（x－1）2－4，可求出顶点D1，－4和对称点D11，4.

假设直线AD1的解析式为y=kx+b，把A、D1两点坐标数值代入解析式，可求出k=2，b=2，

所以直线AD1的解析式为y=2x+2.

将直线解析式与二次函数解析式联立成方程组，可求出C（5，12），

所以S△ABC=12×4×12=24.

（3）假设存在这样的二次函数，

因为E点是函数顶点，E1点是其对称点，而且四边形AEBE1为正方形，又已知A、B两点坐标，

所以根据正方形的图形性质，很容易求出E1，－2、E11，2，

或者E1，2、E11，－2.

①如果顶点是E1，－2，根据二次函数顶点式可得出y=a（x－1）2－2，再把A点坐标代入其中可求出a=12，

所以二次函数解析式为y=12（x－1）2－2.

②如果顶点是E1，2，可假设二次函数解析式为y=a（x－1）2+2，再把A点坐标代入其中可求出a=－12，

所以二次函数解析式为y=－12（x－1）2+2.

由此可判断存在一个二次函数使四边形AEBE1为正方形，

该二次函数解析式是y=12（x－1）2－2或y=－12（x－1）2+2.

小结  该题既是求二次函数解析式的题目，又是一个二次函数的综合性题目，还涉及求三角形面积问题.解题过程中运用了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质、正方形图形性质解题，运用到了数形结合思想方法、分类讨论思想方法等，其中求二次函数解析式是解题基础.

2  动点问题

二次函数的动点问题也是中考数学常见的压轴大题，该类型的题目主要分为x轴上的动点、对称轴上的动点、二次函数图象上的动点三种类型.在解决该类型题目时，应首先假设动点坐标，根据题目已知条件（包括隐含条件）列出相应的等式进行求解.在求解中要注意进行分类讨论，并考虑每种情况的合理性，就能求出符合题意要求的动点坐标.

例2  如图2所示，二次函数y=x2+bx和直线y=2x+4相交于Aa，8、B两点，P点是二次函数上的动点并且位于A、B两点之间，过P点分别作两坐标轴的平行线与直线AB相交于C、D两点.

（1）求二次函数的解析式；

（2）如果C点是直线AB的中点，求PC的长度；

（3）以PC、PD两边构建长方形PCED，并假设Am，n，求 m，n之间的关系.

解析  （1）把Aa，8代入到直线解析式中，可求出a=2.

所以A2，8，再把A点坐标代入二次函数解析式中可得b=2，

二次函数解析式是y=x2+2x.

（2）把二次函数解析式与直线解析式联立方程组，可容易求出B（－2，0），根据线段的中点公式可求出C（0，4），

因为动点P在二次函数图象上且与C点纵坐标相同，

所以P（  5－1，4），可求出线段PC=  5－1.

（3）因为PCED是长方形，

根据其性质可求出C（m，2m+4），

D（n－42，n），P（  2m+5－1，m+4），

根据ED=CP，

可得出n－42－m=  2m+5－1－4，

所以8m=n2－4n－16.

小结  本题是二次函数图象上的动点问题，也涉及一次函数、四边形问题、交点问题、中点问题等，在求解中仍然利用待定系数法求二次函数的解析式，再利用方程组求直线与二次函数的交点，根据中点公式求中点，利用直角坐标系求线段长度，利用长方形性质求其坐标点，通过列等式使使问题解决.

3  定值和最值问题

定值问题主要是二次函数与直线满足一定条件时，求线段长度的和、差等问题.最值问题主要是求线段的长度、面积的最大或最小值问题.在解决此类定值或最值问题问题时，常用割补法和铅锤法求出有关图形的面积，再将其变形与二次函数解析式相联系，根据二次函数自变量的取值范围来求其最大值或最小值.

例3  如图3所示，二次函数与坐标轴相交于A－1，0、B4，0、C（0，－4）三点，点M是直线BC下方抛物线上的一个动点.

（1）求该二次函数解析式.

（2）判断是否存在一个动点M，使△MOC是以OC为底边的等腰三角形？如果存在，求出动点M的坐标；如果不存在，说明理由.

（3）当动点M移动到什么位置时，△MBC面积最大，求M点坐标和△MBC的最大面积.

解析  （1）假设二次函数的解析式为

y=ax2+bx+c（a≠0），

把A、B、C三点坐标代入其中解方程組可求出a=1，b=－3，c=－4，

所以二次函数的解析式是y=x2－3x－4.

（2）M点存在.

理由如下：在图3中，作OC的垂直平分线MD点D在OC上，M点位于BC直线下方抛物线上，

所以M点满足题目条件（三角形存在性问题）.

因为△MOC是等腰三角形，

所以MO=MC，容易求出D（0，－2），M点纵坐标是-2，

代入二次函数中得x2－3x－4=－2，

可求得横坐标是x1=3+  172，x2=3－  172，

因为M点在第四象限，x>0，

所以M点坐标是（3+  172，－2）.

（3）因为M点在二次函数图象上移动，可假设Mm，m2－3m－4，过M点作x轴的垂线交于G点，与BC交于H点.根据B、C两点坐标，

可求出直线BC的解析式是y=x－4.

所以H点坐标是m，m－4，

MH=m－4－m2－3m－4=－m2+4m.

所以S△MBC=S△CMH+S△BMH

=12OG×MH+BG×MH

=－2m－22+8，

可看出△MBC的面积是关于m的二次函数，当m=2，△MBC的面积有最大值8，此时可得出M点坐标是2，－6.

小结  本题利用待定系数法求二次函数解析式，再利用等腰三角形的性质等，把所求三角形的面积与二次函数相联系，求出二次函数的最大值，即可求出三角形面积的最大值.在该题解题中除了利用数形结合思想方法，还运用了转化思想方法，使二次函数压轴问题变得容易解决.

4  结语

总之，以二次函数为基础的综合性题目是中考数学常见的压轴大题，要想有效解决此类题目，需要综合运用二次函数、一次函数、平面几何等数学知识，同时也要灵活运用数学结合思想方法、转化思想方法、分类讨论思想方法等，而且还要掌握二次函数压轴题的解题方法策略，才能有效提高解题效率.

参考文献：

［1］李琼.初中数学压轴题的教学实践研究［D］.重庆：西南大学，2021.

［2］王瑞芳.中考数学二次函数的压轴题解题探究［J］.成长，2020（06）：19-21.